Bài 9 trang 9 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng: \(\sin x + \tan x > 2x\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\).

Lời giải chi tiết

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \tan x - 2x\) 

Ta có: f(x) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\) và có đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2\)

Vì \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) nên \(0 < \cos x < 1 \Rightarrow \cos x > {\cos ^2}x\)

\( \Rightarrow \cos x + {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 2 \) \(> {\cos ^2}x + {1 \over {{{\cos }^2}x}}\, - 2 \)

\( \ge 2\sqrt {{{\cos }^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}  - 2 = 2 - 2 = 0\)

Do đó \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Suy ra hàm số \(f\) đồng biến trên \(\,\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Khi đó ta có \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \sin x + \tan x - 2x > 0\\
\Leftrightarrow \sin x + \tan x > 2x
\end{array}\)

với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\).