Bài 1 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

LG a

\(y = 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 6{x^2} + 6x \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\hfill \cr
x = - 1\hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = {2.0^3} + {3.0^2} + 1 = 1\\
x = - 1 \Rightarrow y = 2.{\left( { - 1} \right)^3} + 3.{\left( { - 1} \right)^2} + 1 = 2
\end{array}\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\).

LG b

\(y = {x^3} - 2{x^2} + x + 1\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D =\mathbb R\)

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 4x + 1 \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\begin{array}{l}
x = 1 \Rightarrow y = {1^3} - {2.1^2} + 1 + 1 = 1\\
x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^3} - 2.{\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{{31}}{{27}}
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;{1 \over 3}} \right)\) và \(\,\left( {1; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\,\left( {{1 \over 3};1} \right)\).

LG c

\(y = x + {3 \over x}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D =\mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\eqalign{
& y' = 1 - {3 \over {{x^2}}} = {{{x^2} - 3} \over {{x^2}}} \cr
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \sqrt 3 \hfill \cr
x = - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\begin{array}{l}
x = \sqrt 3 \Rightarrow y = \sqrt 3 + \frac{3}{{\sqrt 3 }} = 2\sqrt 3 \\
x = - \sqrt 3 \Rightarrow y = - \sqrt 3 + \frac{3}{{ - \sqrt 3 }} = - 2\sqrt 3
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - \sqrt 3 } \right)\) và \(\,\left( {\sqrt 3 ; + \infty } \right)\) , nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)\) và \(\,\left( {0;\sqrt 3 } \right)\).

LG d

\(y = x - {2 \over x}\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(y' = 1 + {2 \over {{x^2}}} > 0\) với mọi \(x \ne 0\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\,\,\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

LG e

\(y = {x^4} - 2{x^2} - 5\)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: \(D= \mathbb R\)

\(y' = 4{x^3} - 4x = 4x\left( {{x^2} - 1} \right);y' = 0 \)

\( \Leftrightarrow \,\left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = \pm 1\hfill \cr} \right.\)

\(\begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow y = {0^4} - {2.0^2} - 5 = - 5\\
x = 1 \Rightarrow y = {1^4} - {2.1^2} - 5 = - 6\\
x = - 1 \Rightarrow y = {\left( { - 1} \right)^4} - 2.{\left( { - 1} \right)^2} - 5 = - 6
\end{array}\)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\,\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\), đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).

LG f

\(y = \sqrt {4 - {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(4 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\)

Tập xác định: \(D = \left[ { - 2;2} \right]\)

\(y' = {{ - 2x} \over {2\sqrt {4 - {x^2}} }} = {{ - x} \over {\sqrt {4 - {x^2}} }};\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \)\(x = 0\)

\(x = 0 \Rightarrow y = \sqrt {4 - {0^2}} = 2\)

Bảng biến thiên