Bài 2 trang 7 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

Hàm số \(y = {{x - 2} \over {x + 2}}\) đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó;

Lời giải chi tiết:

Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 2} \right\}\)

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{{\left( {x - 2} \right)'\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)'}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{1.\left( {x + 2} \right) - \left( {x - 2} \right).1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\
= \frac{{  4}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} > 0,\forall x \ne - 2
\end{array}\)

Do đó, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

LG b

Hàm số \(y = {{ - {x^2} - 2x + 3} \over {x + 1}}\) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định \(D =\mathbb R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(y' = \frac{{\left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)'\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)'}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

\(= {{\left( { - 2x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( { - {x^2} - 2x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \)

\(= {{ - {x^2} - 2x - 5} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}  = \frac{{ - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \) \(= \frac{{ - {{\left( {x + 1} \right)}^2} - 4}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}< 0\) với mọi \(x \ne  - 1\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).