Bài 8 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

LG a

\(\sin x < x\) với mọi \(x > 0,\sin x > x\) với mọi \(x < 0\)

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số \(f\left( x \right) = x - \sin x\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Đạo hàm \(f'\left( x \right) = 1 - \cos x > 0\) với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\).

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left[ {0;{\pi  \over 2}} \right)\)

Từ đó với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\) ta có:

\(f\left( x \right) > f\left( 0 \right) = 0 \)

\(\Rightarrow x - \sin x > 0\,\,\forall x \in \left( {0;{\pi  \over 2}} \right)\).

\( \Leftrightarrow x > \sin x,\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\)

Với \(x \ge {\pi  \over 2}\) thì \(x > 1 \ge \sin x\).

Vậy \(\sin x < x\) với mọi \(x > 0\)

Xét hàm số f(x) = x – sin x trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\)

Đạo hàm f’(x) = 1 - cos x > 0 \(\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\)

⇒ f(x) < f(0) hay x- sin x < 0

\( \Leftrightarrow x < \sin x,\forall x \in \left( { - \frac{\pi }{2};0} \right]\)

+ Hiển nhiên: x < sin x với mọi \(x \le  - \frac{\pi }{2}\)

(vì \(x \le  - \frac{\pi }{2} <  - 1 \le \sin x\))

Do đó x < sin x với mọi x < 0.

Cách giải thích khác:

* Với mọi \(x<0\), áp dụng chứng minh ở trường hợp x > 0 ta có:

\(\sin \left( { - x} \right) <  - x \) (do x < 0 thì -x > 0)

\(\Rightarrow  - \sin x <  - x \Rightarrow \sin x > x\)

Vậy \(\sin x > x\) với mọi \(x<0\).

LG b

\(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(g\left( x \right) = \cos x + {{{x^2}} \over {2 }}-1\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và có đạo hàm \(g'\left( x \right) = x - \sin x\)

Theo câu a) \(g'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x>0\) nên hàm số g đồng biến trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\), khi đó ta có

\(g\left( x \right) > g\left( 0 \right) = 0\) với mọi \(x>0\), tức là \(\cos x + {{{x^2}} \over 2} - 1 > 0\) với mọi \(x>0\)

hay \(\cos x > 1 - {{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x>0\) (1)

Với mọi x < 0 thì -x > 0 nên theo (1) ta có:

\(\cos \left( { - x} \right) > 1 - {{{{\left( { - x} \right)}^2}} \over 2}\)

\(\Leftrightarrow \cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x < 0\)

Vậy \(\cos x > 1 - \,{{{x^2}} \over 2}\) với mọi \(x \ne 0\).

Cách khác:

g’(x) = x – sin x

g'(x)=0 \(\Leftrightarrow\) x- sin x = 0

⇔ x = 0

Theo câu a ta có bảng biến thiên:

Từ bbt ta thấy \(g\left( x \right) > 0,\forall x \ne 0 \) \(\Leftrightarrow \cos x > 1 - \frac{{{x^2}}}{2},\forall x \ne 0\)

LG c

\(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x > 0\); \(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x<0\).

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(h\left( x \right) = \sin x - x + {{{x^3}} \over 6}\) có đạo hàm \(h'(x) = \cos x - 1 + {{{x^2}} \over 2} > 0\) với mọi \(x \ne 0\) (câu b)

Do đó \(h\) đồng biến trên \(\mathbb R\) nên ta có:

\(h\left( x \right) > h\left( 0 \right) = 0,\forall x > 0\) và \(h\left( x \right) < h\left( 0 \right) = 0,\forall x < 0\)

Từ đó suy ra: \(\sin x > x - {{{x^3}} \over 6}\) với mọi \(x>0\)

\(\sin x < x - {{{x^3}} \over 6}\)với mọi \(x<0\)