Bài 6 trang 8 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

LG a

\(y = {1 \over 3}{x^3} - 2{x^2} + 4x - 5\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb R\)
\(y' = {x^2} - 4x + 4 = {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\), \(\forall x \in \mathbb R\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x=2\)

Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb R\).

LG b

\(y =  - {4 \over 3}{x^3} + 6{x^2} - 9x - {2 \over 3}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D=\mathbb R\)

\(y' =  - 4{x^2} + 12x - 9 \) \(=  - \left( {4{x^2} - 12x + 9} \right)\)

\(=  - {\left( {2x - 3} \right)^2} \le 0,\forall x \in \mathbb R\)

Dấu bằng chỉ xảy ra khi \(x = {3 \over 2}\).

Vậy hàm số nghịch biến trên \(\mathbb R\).

LG c

\(y = {{{x^2} - 8x + 9} \over {x - 5}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R\backslash \left\{ 5 \right\}\)

\(y' = \frac{{\left( {{x^2} - 8x + 9} \right)'\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)\left( {x - 5} \right)'}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}\) \( = {{\left( {2x - 8} \right)\left( {x - 5} \right) - \left( {{x^2} - 8x + 9} \right)} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 10x + 31} \over {{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} \)

\( = \frac{{{x^2} - 10x + 25 + 6}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}> 0\) với mọi \(x \ne 5\)

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).

LG d

\(y = \sqrt {2x - {x^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Hàm số xác định khi và chỉ khi \(2x - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 2\).

TXĐ: \(D = \left[ {0;2} \right]\)

\(y'  = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }}= {{2 - 2x} \over {2\sqrt {2x - {x^2}} }} = {{1 - x} \over {\sqrt {2x - {x^2}} }}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,\,\left( {y = 1} \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( {1;2} \right)\).

LG e

\(y = \sqrt {{x^2} - 2x + 3} \)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb R\)

(vì \({x^2} - 2x + 3 \) \( = {\left( {x - 1} \right)^2} + 2> 0,\forall x \in \mathbb R\))

\(y'  = \frac{{\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}={{2x - 2} \over {2\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }} \) \(= {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 3} }}\);

\(y' = 0 \Leftrightarrow x = 1\,\,\,(y = \sqrt 2 )\)

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

LG f

\(y = {1 \over {x + 1}} - 2x\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D =\mathbb R \backslash \left\{ { - 1} \right\}\)

\(y' =  - {1 \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - 2 < 0,\,\,\forall x \ne  - 1\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) .