Bài 9 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao

LG a

Giả sử phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁ và x₂.

Chứng minh rằng:  ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Giải chi tiết:

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& a{x^2} + {\rm{ }}bx + c = 0 = a({x^2} + {b \over a}x + {c \over a}) \cr&= a{\rm{[}}{{{x}}^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr 
& = a{\rm{[x(x}}\,{\rm{ - }}\,{{\rm{x}}_1}) - {x_2}(x\, - \,{x_1}){\rm{]}} = a(x - {x_1})(x - {x_2}) \cr} \)

LG b

Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}4;\)

\(g\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {\sqrt 2 {\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}2\left( {\sqrt 2  + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Giải chi tiết:

Ta có: 

\(f(x) = - 2{x^2} - 7x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(f(x) =  - 2(x + 4)(x - {1 \over 2}) = (x + 4)(1 - 2x)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& g(x) = (\sqrt 2 + 1){x^2} - 2(\sqrt 2 + 1)x + 2 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \sqrt 2 \hfill \cr 
x = {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 + 1}} \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Do đó: \(g(x) = (\sqrt 2  + 1)(x - \sqrt 2 )(x - {{\sqrt 2 } \over {\sqrt 2  + 1}}) \)

                     \(= (x - \sqrt 2 ){\rm{[}}(\sqrt 2  + 1)x\, - \sqrt 2 {\rm{]}}\)