Bài 9 trang 14 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Các hệ thức sau đây đúng hay sai (với mọi \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) )?

LG a

\(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\) bằng cách dựng hình và sử dụng bất đẳng thức tam giác.

Từ đó suy ra tính đúng sai của mỗi câu.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ chứng minh \(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Chứng minh:

Từ một điểm \(O\) trong mặt phẳng ta dựng vectơ:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \cr 
& \overrightarrow {OB} = \overrightarrow b \cr} \)

Và dựng hình bình hành \(OACB\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {OB} \)

Như vậy:

\(\eqalign{
& OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr 
& OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr&\Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} |=|\overrightarrow {OB} |  = |\overrightarrow b | \cr 
& \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr 
& OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(OAC\), ta có:

\(OA + AC ≥ OC \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge \left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\)

\(   ⇒ |\overrightarrow a  + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \).

Dấu "=" xảy ra khi OA+AC=OC hay A nằm giữa O và C.

Khi đó \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng hay \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. (Do \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b \))

Chú ý:

Các em cũng không nhất thiết phải dựng hình bình hành. Có thể dựng hình cách khác như sau:

Từ điểm O dựng điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \).

Từ điểm A dựng điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow b \).

Rồi sử dụng bất đẳng thức tam giác cũng ra được đpcm.

Do đó a sai.

LG b

\(\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| \le \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Đúng.