Bài 8 trang 14 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Cho bốn điểm bất kì \(M, N, P, Q\). Chứng minh các đẳng thức sau

LG a

\(\overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MQ} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng véc tơ.

Quy tắc ba điểm: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  \)

\(= (\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP} ) + \overrightarrow {PQ} \) (giao hoán)

\(= \overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {PQ}  \) (quy tắc ba điểm)

\(= \overrightarrow {MQ} \) (quy tắc ba điểm)

LG b

\(\overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP}  + \overrightarrow {MQ} \)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  \)

\(= (\overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {QP} ) + (\overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {QN} ) \) (quy tắc ba điểm)

\(= (\overrightarrow {QP}  + \overrightarrow {MQ} ) +( \overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {QN} ) \) (giao hoán)

\(= \overrightarrow {QP}  + \overrightarrow {MQ} \) (quy tắc ba điểm)

( vì \(\overrightarrow {NQ}  + \overrightarrow {QN}  = \overrightarrow 0 \) )

Cách khác:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP} \\ = \overrightarrow {MP} \,\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {QP}  + \overrightarrow {MQ}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {QP} \\ = \overrightarrow {MP} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {QP}  + \overrightarrow {MQ} \).

LG c

\(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}  = \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {PN} \)

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {PQ}\)

\(  = (\overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {QN} ) + (\overrightarrow {PN}  + \overrightarrow {NQ} ) \)

\(= \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {PN}  + \overrightarrow {QN}  + \overrightarrow {NQ}  \)

\(= \overrightarrow {MQ}  + \overrightarrow {PN} \)

(vì \(\overrightarrow {QN}  + \overrightarrow {NQ} = \overrightarrow {QQ} = \overrightarrow 0 \))