Bài 9 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\) và \(O\) là một điểm thuộc miền trong của mặt bên \(CC'D'D\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) với các mặt của hình hộp.


Đề bài

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\) và \(O\) là một điểm thuộc miền trong của mặt bên \(CC'D'D\). Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) với các mặt của hình hộp.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta có 2 cách:

+ Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt. Giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung.

+ Cách 2: Tìm 1 điểm chung và 2 đường thẳng song song nằm trên mỗi mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {ABB'A'} \right)\\M \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right)\\\left. \begin{array}{l}N \in A'B' \subset \left( {ABB'A'} \right)\\N \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = MN\end{array}\)

\(M\) là trung điểm của \(AB\)

\(N\) là trung điểm của \(A'B'\)

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của hình bình hành \(ABB'A'\)

\( \Rightarrow MN\parallel AA'\parallel BB'\parallel CC'\parallel DD'\)

\(\left. \begin{array}{l}O \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right)\\MN\parallel C{\rm{D}}\\MN \subset \left( {OMN} \right)\\C{\rm{D}} \subset \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right)\end{array} \right\}\)

\( \Rightarrow \)Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {OMN} \right)\) và \(\left( {C{\rm{DD'C'}}} \right)\) là đường thẳng \(d\) đi qua \(O\), song song với \(MN\) và \(C{\rm{D}}\).

Gọi \(P = d \cap C'D',Q = d \cap CD \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {C{\rm{DD'C'}}} \right) = PQ\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}M \in AB \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\M \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow M \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}Q \in C{\rm{D}} \subset \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\Q \in d \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow Q \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MQ\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}N \in A'B' \subset \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\N \in \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow N \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}P \in C'{\rm{D'}} \subset \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\P \in d \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow P \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {A'B'C'{\rm{D'}}} \right) = NP\end{array}\)

Gọi \(E = MQ \cap BC,F = MQ \cap AD,G = NP \cap B'C',H = NP \cap A'D'\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}E \in BC \subset \left( {BCC'B'} \right)\\E \in MQ \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow E \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right)\\\left. \begin{array}{l}G \in B'C' \subset \left( {BCC'B'} \right)\\G \in NP \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow G \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = EG\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}F \in A{\rm{D}} \subset \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\F \in MQ \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow F \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\\left. \begin{array}{l}H \in A'D' \subset \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\H \in NP \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow H \in \left( {OMN} \right) \cap \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right)\\ \Rightarrow \left( {OMN} \right) \cap \left( {A{\rm{DD'A'}}} \right) = FH\end{array}\)

Bài giải tiếp theo
Bài 10 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 11 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Bài 12 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Video liên quan



Bài học liên quan

Từ khóa