Bài 11 trang 128 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và hai đường thẳng chéo nhau \(a,b\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại \(A\) và \(B\). Gọi \(d\) là đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với \(\left( \alpha  \right)\) và cắt \(a\) tại \(M\), cắt \(b\) tại \(N\). Qua điểm \(N\) dựng đường thẳng song song với \(a\) cắt \(\left( \alpha  \right)\) tại điểm \(C\).

a) Tứ giác \(MNCA\) là hình gì?

b) Chứng minh rằng điểm \(C\) luôn luôn chạy trên một đường thẳng cố định.

c) Xác định vị trí của đường thẳng \(d\) để độ dài \(MN\) nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}d \subset \left( {AMNC} \right)\\d\parallel \left( \alpha  \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AMNC} \right) = AC\end{array} \right\} \Rightarrow d\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC\)

Mà \(a\parallel NC \Rightarrow MA\parallel NC\)

\( \Rightarrow AMNC\) là hình bình hành.

b) Gọi \(\left( \beta  \right)\) là mặt phẳng chứa \(b\) và song song với \(a\), \(c = \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right)\)

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}NC\parallel a\\N \in b\end{array} \right\} \Rightarrow NC \subset \left( \beta  \right)\)

\( \Rightarrow C \in \left( \alpha  \right) \cap \left( \beta  \right) \Rightarrow C \in c\)

Vậy điểm \(C\) luôn luôn chạy trên đường thẳng \(c\) là giao tuyến của \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) cố định.

c) Trong mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\), kẻ \(AH \bot c\)

Vì \(c\) cố định nên \(AC \ge AH\)

\(AMNC\) là hình bình hành \( \Rightarrow MN = AC\)

Vậy \(MN \ge AH\)

Vậy \(MN\) nhỏ nhất khi \(C \equiv H\). Khi đó \(d\parallel AH\).