Bài 86 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao

Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm

LG a

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 5x + 6 < 0\,\, (1)\hfill \cr 
ax + 4 < 0\,\, (2)\hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 < x < 3 \Rightarrow {S_1} = \left( {2;3} \right)\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow ax <  - 4(*)\)

+ Nếu a = 0 thì (*) là \(0x<-4\) nên (*) vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Nếu a > 0 thì \((*)  \Leftrightarrow x <  - {4 \over a}\)\( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \infty ; - \frac{4}{a}} \right)\)

Vì \( - {4 \over a} < 0\) nên \({S_1} \cap {S_2} = \emptyset \) hay hệ vô nghiệm.

+ Nếu a < 0 thì \((*)  \Leftrightarrow x >  - {4 \over a}\)\( \Rightarrow {S_2} = \left( { - \frac{4}{a};+\infty} \right)\)

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr 
- {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
- 4 > 3a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
a < - \frac{4}{3}
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow a < - \frac{4}{3}\)

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: \(a <  - {4 \over 3}\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr 
{x^2} - 2ax + 1 \le 0\hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Kết hợp với (*) suy ra hệ vô nghiệm

+ Nếu ∆’ < 0 hay – 1 < a < 1 thì \({x^2} - 2ax + 1 > 0,\forall x\) nên BPT thứ hai vô nghiệm nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu ∆’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức x²- 2ax +1 có hai nghiệm phân biệt là x₁ < x2.

Theo hệ thức Vi –et ta có: x₁.x₂ = 1 > 0 nên hai nghiệm cùng dấu và x₁ + x₂ = 2a.

• Nếu a < -1 thì x₁ + x₂ < 0 nên x₁ < x₂ < 0 và nghiệm của BPT (2) là [x₁; x₂]

Kết hợp với (*) suy ra: hệ vô nghiệm

• Nếu a > 1 thì x₁+ x₂ > 0 nên 0 < x₁ < x₂ và nghiệm của BPT (2) là là [x₁; x₂]

Kết hợp với (*) suy ra: hệ có nghiệm (chú ý: x₁.x₂ = 1)

Vậy a > 1.