Bài 77 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

LG a

\(a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \) với a ≥ 0; b ≥ 0; c ≥ 0     

Phương pháp giải:

Nhân cả 2 vế bđt với 2 và biến đổi tương đương.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \cr 
& \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - 2\sqrt {ab} - 2\sqrt {bc} - 2\sqrt {ca} \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow (a - 2\sqrt {ab} + b) + (b - 2\sqrt {bc} + c) \cr&\;\;\;\;\;\;+ (c - 2\sqrt {ac} + a) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow {(\sqrt a - \sqrt b )^2} + {(\sqrt b - \sqrt c )^2} + {(\sqrt c - \sqrt a )^2} \ge 0(dung) \cr} \)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Cách khác:

Áp dụng bất đẳng thức Cô- si cho hai số không âm ta có:

\(\begin{array}{l}a + b \ge 2\sqrt {ab} \\b + c \ge 2\sqrt {bc} \\c + a \ge 2\sqrt {ca} \end{array}\)

Lấy vế cộng vế các bất đẳng thức trên ta được:

\(\begin{array}{l}a + b + b + c + c + a \ge 2\sqrt {ab}  + 2\sqrt {bc}  + 2\sqrt {ca} \\ \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) \ge 2\left( {\sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} } \right)\\ \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab}  + \sqrt {bc}  + \sqrt {ca} \end{array}\)

Suy ra điều phải chứng minh.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a= b = c .

LG b

a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c) với mọi a,b,c ∈ R

Khi nào có đẳng thức?

Lời giải chi tiết:

Ta có:

a²b² + b²c² + c²a² ≥ abc(a + b +c)

⇔ 2a²b² + 2b²c² + 2c²a² ≥ 2abc(a + b +c)

⇔ (a²b² – 2a²bc+ a²c²) + (a²c² – 2c²ab +b²c²) +(a²b² – 2b²ac +b²c²) ≥ 0

⇔  (ab – ac)² + (ac – bc)² + (ab – bc)² ≥ 0 (luôn đúng)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hoặc 2 trong 3 số a, b, c = 0.

Cách khác:

Với các số thực a, b, c ta luôn có: a² ≥ 0; b² ≥ 0; c² ≥ 0

Do đó a²b² ≥ 0; b²c² ≥ 0; c²a² ≥ 0

Áp dụng bđt Cô – si ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}.{b^2}{c^2}}  = 2{b^2}ac\\{b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge 2\sqrt {{b^2}{c^2}.{c^2}{a^2}}  = 2{c^2}ab\\{c^2}{a^2} + {a^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{c^2}{a^2}.{a^2}{b^2}}  = 2{a^2}bc\end{array}\)

Cộng vế với vế các bđt trên ta được:

\(\begin{array}{l}{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} + {c^2}{a^2} + {a^2}{b^2}\\ \ge 2{b^2}ac + 2{c^2}ab + 2{a^2}bc\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right)\\ \ge 2abc\left( {a + b + c} \right)\\ \Rightarrow {a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2} \ge abc\left( {a + b + c} \right)\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi \(a = b = c\) hoặc hai trong ba số bằng 0.