Bài 81 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các bất phương trình sau:

LG a

a²x + 1 > (3a - 2)x + 3

Phương pháp giải:

Biến đổi bpt về dạng Ax > B và biện luận dựa theo các điều kiện của hệ số A.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{a^2}x + 1 > \left( {3a - 2} \right)x + 3\\ \Leftrightarrow {a^2}x - \left( {3a - 2} \right)x > 3 - 1\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 3x + 2} \right)x > 2\,\,\left( * \right)\end{array}\)

+) TH1: \({a^2} - 3a + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 2\end{array} \right.\)

Khi đó (*) là \(0x > 2\) (vô lí)

Do đó bpt vô nghiệm.

+) TH2: \({a^2} - 3a + 2 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a > 2\\a < 1\end{array} \right.\) thì

\(\left( * \right) \Leftrightarrow x > \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}\) nên BPT có tập nghiệm \(S = \left( {\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}; + \infty } \right)\)

+) TH3: \({a^2} - 3a + 2 < 0 \Leftrightarrow 1 < a < 2\) thì

\(\left( * \right) \Leftrightarrow x < \frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}\) nên BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}} \right)\)

Vậy,

+ Nếu \(a = 1\) hoặc \(a = 2\) thì BPT vô nghiệm.

+ Nếu \(a > 2\) hoặc \(a < 1\) thì BPT có tập nghiệm \(S = \left( {\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}; + \infty } \right)\)

+ Nếu \(1 < a < 2\) thì BPT có tập nghiệm \(S = \left( { - \infty ;\frac{2}{{{a^2} - 3a + 2}}} \right)\).

LG b

 2x² + (m - 9)x + m² + 3m + 4 ≥ 0

Phương pháp giải:

Tính \(\Delta \) và biện luận tập nghiệm của bpt theo \(\Delta\) dựa vào định lý dấu của tam thức bậc hai.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

Δ = (m – 9)² – 8(m² + 3m + 4)

= -7(m² + 6m – 7)

+) TH1: \(\Delta  \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - 7\left( {{m^2} + 6m - 7} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m - 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 7\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó 2x² + (m - 9)x + m² + 3m + 4 ≥ 0 với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên bpt có tập nghiệm \(S = \mathbb{R}\)

+) TH2: \(\Delta  > 0 \Leftrightarrow  - 7 < m < 1\)

Khi đó tam thức vế trái của bpt có hai nghiệm phân biệt:

\(\eqalign{
& {x_1} = {{9 - m - \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4} \cr 
& {x_2} = {{9 - m + \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4} \cr} \)

Nghiệm của bất phương trình đã cho là: x ≤ x₁ hoặc x ≥ x₂.

 Vậy:

+ Nếu m ≤ -7 hoặc m ≥ 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là R

+ Nếu -7 < m < 1 thì tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(( - \infty ;{{9 - m - \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4}) \cup \)

\(({{9 - m + \sqrt { - 7({m^2} + 6m - 7)} } \over 4},+\infty )\)