Bài 76 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh các bất đẳng thức

LG a

\(|a + b| < |1 + ab|\) với \(|a| < 1; |b| < 1\)

Phương pháp giải:

Biens đổi tương đương, bình phương hai vế bất đẳng thức.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(|a + b| < |1 + ab|\)\(  ⇔ (a + b)^2 < (1 + ab)^2\) \( \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} < 1 + 2ab + {a^2}{b^2}\)

\(⇔ a^2b^2 – a^2 – b^2 + 1 > 0\) \(⇔ a^2(b^2 – 1) – (b^2 – 1) > 0\)

\(⇔ (a^2 – 1)(b^2 – 1) > 0\)

Vì 

\(\begin{array}{l}
\left| a \right| < 1,\left| b \right| < 1\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} < 1\\
{b^2} < 1
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{a^2} - 1 < 0\\
{b^2} - 1 < 0
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{b^2} - 1} \right) > 0
\end{array}\)

Vậy với \(|a| < 1; |b| < 1\) thì \(|a + b| < |1 + ab|\)

LG b

\(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \dfrac{1}{2}\)

với mọi n ∈ N*

Phương pháp giải:

Đánh giá so sánh từng số hạng của tổng với 1/2n.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\dfrac{1}{{n + 1}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{n + 2}} \ge \dfrac{1}{{2n}};\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} .....;\)\({\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \dfrac{1}{{2n}}\)\( = \dfrac{1}{{2n}}\)

Do đó:

\(\dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \)\(\ge \underbrace {\dfrac{1}{{2n}} + \dfrac{1}{{2n}} + .... + \dfrac{1}{{2n}}}_n \)\(\Rightarrow \dfrac{1}{{n + 1}} + \dfrac{1}{{n + 2}} + ..... + \dfrac{1}{{2n}} \ge \)\(n\dfrac{1}{{2n}} = \dfrac{1}{2}\)

Vậy ta được điều phải chứng minh.

LG c

\(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}} \le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\) với mọi \(a ≥ 0; b ≥ 0\). Khi nào có đẳng thức?

Phương pháp giải:

Tách vế trái thành tổng, đánh giá từng số hạng của tổng.

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{a + b}}{{1 + a + b}}\)\( = \dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\)

Vì a ≥ 0; b ≥ 0 nên 

\(\left\{ \begin{array}{l}
1 + a + b \ge 1 + a\\
1 + a + b \ge 1 + b
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{a}{{1 + a + b}} \le  \dfrac{a}{{1 + a}}\\
\dfrac{b}{{1 + a + b}} \le \dfrac{b}{{1 + b}}
\end{array} \right.\)

Suy ra \(\dfrac{a}{{1 + a + b}} + \dfrac{b}{{1 + a + b}}\) \(\le \dfrac{a}{{1 + a}} + \dfrac{b}{{1 + b}}\)

Vậy ta có đpcm.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = 0\)hoặc \(b = 0\) hoặc\(a = b = 0\).