Bài 8 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 8. Đơn giản biểu thức:

a) \({{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a  + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }}\);                     

b) \({{a - b} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }}\);

c) \(\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2};\) 

d) \({{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a  + \root 4 \of a } \over {\sqrt a  + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1.\)

Giải

a) \({{\sqrt a  - \sqrt b } \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\sqrt a  + \root 4 \of {ab} } \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }} = {{\left( {\root 4 \of a  + \root 4 \of b } \right)\left( {\root 4 \of a  - \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a  - \root 4 \of b }} - {{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a  + \root 4 \of b } \right)} \over {\root 4 \of a  + \root 4 \of b }}\)

\( = \root 4 \of a  + \root 4 \of b  - \root 4 \of a  = \root 4 \of b \)

b) \({{a - b} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} = {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} - {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a  - \root 3 \of b }} - {{{{\left( {\root 3 \of a } \right)}^3} + {{\left( {\root 3 \of b } \right)}^3}} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }}\)

\( = \root 3 \of {{a^2}}  + \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}}  - \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right) = 2\root 3 \of {ab} \)

c) \(\left( {{{a + b} \over {\root 3 \of a  + \root 3 \of b }} - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2} = \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - \root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}}  - \root 3 \of {ab} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}\)

\( = \left( {\root 3 \of {{a^2}}  - 2\root 3 \of {ab}  + \root 3 \of {{b^2}} } \right):{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2} = {\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2}:{\left( {\root 3 \of a  - \root 3 \of b } \right)^2} = 1\)

d) \({{a - 1} \over {{a^{{3 \over 4}}} + {a^{{1 \over 2}}}}}.{{\sqrt a  + \root 4 \of a } \over {\sqrt a  + 1}}.{a^{{1 \over 4}}} + 1. = {{\left( {\sqrt a  + 1} \right)\left( {\sqrt a  - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\root 4 \of a  + 1} \right)}}.{{\root 4 \of a \left( {\root 4 \of a  + 1} \right)} \over {\left( {\sqrt a  + 1} \right)}}.\root 4 \of a  + 1\)

                                        \( = \sqrt a  - 1 + 1 = \sqrt a \).