Bài 11 trang 78 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 11. So sánh các số

a) \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \)                b) \({3^{600}}\) và \({5^{400}}\)

c) \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}}\)và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\)                        d) \({7^{30}}\) và \({4^{40}}\)

Giải

a) Ta có: \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}} = {3^{ - {5 \over {12}}}}\) và \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} }  = \root 3 \of {{3^{ - 1}}{1 \over {{3^{{1 \over 4}}}}}}  = \root 3 \of {{3^{ - 1}}{3^{ - {1 \over 4}}}}  = \root 3 \of {{3^{ - {5 \over 4}}}}  = {3^{ - {5 \over {12}}}}\).

Vậy \({\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - {5 \over 6}}}\) = \(\root 3 \of {{3^{ - 1}}\root 4 \of {{1 \over 3}} } \)

b) Ta có: \({3^{600}} = {\left( {{3^3}} \right)^{200}} = {27^{200}}\) và \({5^{400}} = {\left( {{5^2}} \right)^{200}} = {25^{200}}\).

Vậy \({3^{600}}\) > \({5^{400}}\)

c) Ta có: \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}} = {2^{{5 \over 7}}}\) và \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2}}}{.2^{{3 \over {14}}}} = {2^{{1 \over 2} + {3 \over {14}}}} = {2^{{5 \over 7}}}\).

Vậy \({\left( {{1 \over 2}} \right)^{ - {5 \over 7}}}\)= \(\sqrt 2 {.2^{{3 \over {14}}}}\).

d) Ta có: \({7^{30}} = {\left( {{7^3}} \right)^{10}} = {343^{10}}\);

\({4^{40}} = {\left( {{4^4}} \right)^{10}} = {256^{10}}\).

Vậy \({7^{30}}\) >\({4^{40}}\)