Bài 7 trang 169 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat C = {60^0}\)  . Kẻ AH vuông goác với BC tại H, trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho HD = HA.

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABD\) đều.

b) Từ D kẻ đường thẳng  song song với AB cắt BC tại M. Chứng minh rằng  đều.

Lời giải chi tiết

a)Ta có: \(\widehat {ACH} + \widehat {HAC} = {90^0}(\Delta AHC\)  vuông tại H)

\(\widehat {HAC} + \widehat {HAB} = {90^0}(\Delta ABC\)  vuông tại A)

Suy ra: \(\widehat {ACB} = \widehat {HAB} = {60^0}\)

Mặt khác \(AH \bot BC(gt) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {DHB} = \widehat {MHA} = \widehat {MHD} = {90^0}\)

Xét tam giác ABH và DBH có:

AH = DH (giả thiết)

HB là cạnh chung.

\(\widehat {AHB} = \widehat {DHB}({90^0})\)

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta DBH(c.g.c)\)

Suy ra: AB = BD => tam giác ABD cân tại B.

Mà \(\widehat {BAD} = {60^0}.\)   Do vậy tam giác ABD đều.

b) Ta có: AB // MD (gt)

\(\Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {BAD}\)   (hai góc so le trong) nên \(\widehat {ADM} = {60^0}.\)

Xét tam giác MHA và MHD có:

HA = HD (gt)

\(\widehat {MHA} = \widehat {MHD}( = {90^0})\)

MH là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta MHA = \Delta MHD(c.g.c) \Rightarrow MA = MD \Rightarrow \Delta ADM\)  cân tại M.

Mà \(\widehat {ADM} = {60^0}.\)   Vậy tam giác ADM đều.