Bài 54 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = \left( {3x - 2} \right){\ln ^2}x\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp và \(\left( {\ln u} \right)' = \frac{{u'}}{u}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left[ {\left( {3x - 2} \right){{\ln }^2}x} \right]'\\
= \left( {3x - 2} \right)'{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right)\left[ {{{\ln }^2}x} \right]'\\
= 3{\ln ^2}x + \left( {3x - 2} \right).2\ln x.\left( {\ln x} \right)'\\
= 3{\ln ^2}x + 2\left( {3x - 2} \right)\ln x.\frac{1}{x}\\
= 3{\ln ^2}x + \frac{{2\left( {3x - 2} \right)\ln x}}{x}
\end{array}\)

LG b

\(y = \sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \ln {x^2}} \right)'\\
= \left( {\sqrt {{x^2} + 1} } \right)'\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} \left( {\ln {x^2}} \right)'\\
= \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}\ln {x^2} + \sqrt {{x^2} + 1} .\frac{{2x}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{x\ln {x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} + \frac{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}
\end{array}\)

LG c

\(y = x.\ln {1 \over {1 + x}}\)

Lời giải chi tiết:

Cách 1:

\(\begin{array}{l}
y = x\ln \frac{1}{{1 + x}}\\
= x\left[ {\ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)} \right]\\
= x\left[ {0 - \ln \left( {1 + x} \right)} \right]\\
= - x\ln \left( {1 + x} \right)\\
y' = \left[ { - x\ln \left( {1 + x} \right)} \right]'\\
= - \left[ {\left( x \right)'\ln \left( {1 + x} \right) + x\left( {\ln \left( {1 + x} \right)} \right)'} \right]\\
= - \left[ {1.\ln \left( {1 + x} \right) + x.\frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}} \right]\\
= - \left[ {\ln \left( {1 + x} \right) + x.\frac{1}{{1 + x}}} \right]\\
= - \ln \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

Cách 2:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {x\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right)'\\
= \left( x \right)'\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\left( {\ln \frac{1}{{1 + x}}} \right)'\\
= 1.\ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} + x.\frac{{ - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}}}{{\frac{1}{{1 + x}}}}\\
= \ln \frac{1}{{1 + x}} - x.\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \ln \left( {1 + x} \right) - \frac{x}{{1 + x}}
\end{array}\)

LG d

\(y = {{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \over x}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {\frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{x}} \right)'\\
= \frac{{\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]'.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right).\left( x \right)'}}{{{x^2}}}\\
= \frac{{\frac{{\left( {{x^2} + 1} \right)'}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right).1}}{{{x^2}}}\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}.x - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]\\
= \frac{1}{{{x^2}}}\left[ {\frac{{2{x^2}}}{{{x^2} + 1}} - \ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]\\
= \frac{2}{{{x^2} + 1}} - \frac{{\ln \left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2}}}
\end{array}\)