Bài 49 trang 112 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

LG a

\(y = \left( {x - 1} \right){e^{2x}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm của tích:

(uv)'=u'v+uv'

Đạo hàm hàm mũ: \(\left( {{e^u}} \right)' = u'{e^u}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y'= \left[ {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}} \right]'\\
= \left( {x - 1} \right)'{e^{2x}} + \left( {x - 1} \right)\left( {{e^{2x}}} \right)'
\end{array}\)

\(= {e^{2x}} + \left( {x - 1} \right).2{e^{2x}} \)

\(\begin{array}{l}
= {e^{2x}} + \left( {2x - 2} \right){e^{2x}}\\
= \left( {1 + 2x - 2} \right){e^{2x}}
\end{array}\)

\(= \left( {2x - 1} \right).{e^{2x}}\)

LG b

\(y = {x^2}.\sqrt {{e^{4x}} + 1} ;\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm của tích:

(uv)'=u'v+uv'

Đạo hàm hàm mũ: \(\left( {{e^u}} \right)' = u'{e^u}\)

Đạo hàm hàm số căn bậc hai: \(\left( {\sqrt u } \right)' = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^2}\sqrt {{e^{4x}} + 1} } \right)'\\
= \left( {{x^2}} \right)'\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}\left( {\sqrt {{e^{4x}} + 1} } \right)'\\
= 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}.\frac{{\left( {{e^{4x}} + 1} \right)'}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\\
= 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + {x^2}.\frac{{4{e^{4x}}}}{{2\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\\
= 2x\sqrt {{e^{4x}} + 1} + \frac{{2{x^2}{e^{4x}}}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\\
= \frac{{2x\left( {{e^{4x}} + 1} \right) + 2{x^2}{e^{4x}}}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\\
= \frac{{2x{e^{4x}} + 2x + 2{x^2}{e^{4x}}}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}\\
= \frac{{2x{e^{4x}}\left( {1 + x} \right) + 2x}}{{\sqrt {{e^{4x}} + 1} }}
\end{array}\)

LG c

\(y = {1 \over 2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right);\) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)'\\
= \frac{1}{2}\left[ {\left( {{e^x}} \right)' - \left( {{e^{ - x}}} \right)'} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {{e^x} - \left( { - 1} \right){e^{ - x}}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)
\end{array}\)

LG d

\(y = {1 \over 2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right);\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{1}{2}\left( {{e^x} + {e^{ - x}}} \right)'\\
= \frac{1}{2}\left[ {\left( {{e^x}} \right)' + \left( {{e^{ - x}}} \right)'} \right]\\
= \frac{1}{2}\left[ {{e^x} + \left( { - 1} \right){e^{ - x}}} \right]\\
= \frac{1}{2}\left( {{e^x} - {e^{ - x}}} \right)
\end{array}\)