Bài 53 trang 113 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tìm các giới hạn sau:

LG a

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over x}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{u \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + u} \right)}}{u} = 1\)

Lời giải chi tiết:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3\ln \left( {1 + 3x} \right)}}{{3x}}\)

\(= 3.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + 3x} \right)} \over {3x}} = 3.1=3\).

LG b

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over x}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over {{x^2}}} = 1\) nên:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over x} \) \(=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{x\ln \left( {1 + {x^2}} \right)} \over {x^2}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left[ {x.\frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}}} \right] \)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\ln \left( {1 + {x^2}} \right)}}{{{x^2}}} = 0.1 = 0\)