Bài 50 trang 87 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn đường kính \(AB\) cố định. \(M\) là một điểm chạy trên đường tròn. Trên tia đối của tia \(MA\) lấy điểm \(I\) sao cho \(MI = 2MB.\)

a) Chứng minh \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Tìm tập hợp các điểm \(I\) nói trên.

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là trung điểm \(AB\). Xét đường tròn tâm \(O\) có \(\widehat {AMB}\)  là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {AMB} = 90^\circ \)  hay \(AM \bot MB\)

Xét tam giác vuông \(MBI\) có \(MI = 2MB \Rightarrow \tan \widehat {MIB} = \dfrac{{MB}}{{MI}} = \dfrac{{MB}}{{2MB}} = \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(\widehat {AIB} = \alpha \) không đổi và thỏa mãn \(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2}.\)

b) Phần thuận:

Khi điểm M thay đổi trên đường tròn đường kính AB thì điểm I thay đổi và luôn nhìn cạnh AB dưới một góc \(\widehat {AIB} = \alpha \) không đổi (với \(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\))

Vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc \(\alpha \) sao cho \(\tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\) dựng trên đoạn AB.

Nhưng tiếp tuyến PQ với đường tròn đường kính AB tại A là vị trí giới hạn của AM. Do đó điểm I thuộc hai cung \(PmB,Qm'B\).

Hai điểm P, Q là các điểm giới hạn của quỹ tích, điểm B là điểm đặc biệt của quỹ tích

Phần đảo:

Lấy điểm \(I'\) bất kỳ thuộc cung \(Qm'B\) (hoặc cung \(PmB\)). Nối \(AI'\) cắt đường tròn tâm \(O\) tại \(M'.\) Ta chứng minh \(M'I' = 2M'B.\)

Xét \(\left( O \right)\) có \(\widehat {AM'B}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {AM'B} = 90^\circ  \Rightarrow AM' \bot BM' \Rightarrow \widehat {BM'I'} = 90^\circ \)

Xét tam giác \(BM'I'\) vuông ở \(M'\) có \(\widehat {BI'M'} = \alpha \) (do \(I'\) bất kỳ thuộc cung \(Qm'B\) là cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên đoạn AB) nên \(\tan \widehat {BI'M'} = \tan \alpha  = \dfrac{1}{2}\) mà \(\tan \widehat {BI'M'} = \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} \Rightarrow \dfrac{{BM'}}{{M'I'}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow M'I' = 2BM'\)

Kết luận: Quỹ tích các điểm I là hai cung \(PmB,Qm'B\).