Đề bài
Cho các hình thoi \(ABCD\) có cạnh \(AB\) cố định. Tìm quỹ tích giao điểm \(O\) của hai đường chéo của các hình thoi đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Với đoạn thẳng \(AB\) và góc \(\alpha\, \, (0^0 < \alpha < 180^0)\) cho trước thì quỹ tích các điểm \(M\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=\alpha\) là hai cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn \(AB.\)
Lời giải chi tiết
Dự đoán: Quỹ tích cần tìm là nửa đường tròn đường kính AB.
Chứng minh:
Phần thuận:
Ta đã biết rằng hai đường chéo hình thoi vuông góc với nhau hay \(AC \bot BD\) tại \(O.\)
Vậy điểm \(O\) nhìn \(AB\) cố định dưới góc \(90^0.\)
\(\Rightarrow \) Quỹ tích điểm \(O\) là nửa đường tròn đường kính \(AB.\)
Phần đảo:
Chứng minh với mọi điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB ta đều có hình thoi ABCD thỏa mãn đề bài.
+ Lấy điểm O thuộc nửa đường tròn đường kính AB
+ Lấy C đối xứng với A qua O
+ Lấy D đối xứng với B qua O.
Tứ giác ABCD có AC cắt BD tại O là trung điểm mỗi đường
⇒ ABCD là hình bình hành.
Mà O thuộc nửa đường tròn đường kính AB
\(⇒ \widehat {AOB} = {90^0}\)
⇒ AC ⊥ DB
⇒ Hình bình hành ABCD là hình thoi.
Kết luận: Quỹ tích điểm O là nửa đường tròn đường kính AB (khác A và B)