Bài 47 trang 86 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Gọi cung chứa góc \(55^0\) ở bài tập 46 là \(\overparen{AmB}\). Lấy điểm \({M_1}\) nằm bên trong và điểm \({M_2}\) nằm bên ngoài đường tròn chứa cung này sao cho \({M_1},{M_2}\) và cung \(\overparen{AmB}\) nằm cùng về một phía đối với đường thẳng \(AB\). Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {A{M_1}B} > 55^0\);

b) \(\widehat {A{M_2}B} < 55^0\). 

Lời giải chi tiết

a) \({M_1}\) là điểm bất kì nằm trong cung chứa góc \(55^0\) (hình vẽ).

Gọi \(A', \,  B’\) theo thứ tự là giao điểm của \({M_1}A,\)  \({M_1}B\) với cung tròn.

Ta có \(\widehat {AA'B} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(\overparen{AB} = 55^\circ \) (góc nội tiếp chắn cung \(AB\) và cung \(AmB\) là cung chứa góc \(55^\circ \))

Vì \(\widehat{A{M_1}B}\) là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung \(A'B'\) và \(AB\) nên:  

\(\widehat {A{M_1}B}\) \(=\dfrac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{A'B'}}{2}>\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB} =55^0\).

Vậy \(\widehat {A{M_1}B} > 55^0\) 

b)  \({M_2}\) là điểm bất kì nằm ngoài đường tròn (hình vẽ ) 

Ta có \({M_2}A, \, {M_2}B\) lần lượt cắt đường tròn tại \(A’, \, B’.\)

\(\widehat {AA'B} = \dfrac{1}{2}\) sđ \(AB = 55^\circ \) (góc nội tiếp chắn cung \(AB\) và cung \(AmB\) là cung chứa góc \(55^\circ \))

Vì góc \(\widehat {A{M_2}B}\) là góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn chắn cung \(A'B'\) và \(AB\) nên:

\(\widehat {A{M_2}B}= \dfrac{sđ\overparen{AB}-sđ\overparen{A'B'}}{2}<\dfrac {1}{2}sđ\overparen{AB} =55^0 .\)

Vậy  \(\widehat {A{M_2}B} < 55^0.\)