Bài 47 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi (S) là tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \matrix{
2x - y \ge 2 \hfill \cr 
x - 2y \le 2 \hfill \cr 
x + y \le 5 \hfill \cr 
x \ge 0 \hfill \cr} \right.\)

LG a

Hãy xác định (S) để thấy rằng đó là một tam giác.

Lời giải chi tiết:

Lần lượt dựng các đường thẳng:

\((d_1):-2x + y = -2;\) \((d_2):  x – 2y = 2; \) \((d_3):x + y = 5\) và \((d_4):x = 0\).

Xét điểm M(1;1) ta thấy, M thuộc miền nghiệm của bpt 2, 3, 4 nhưng không thuộc miền nghiệm của 1.

Từ đó ta có miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Tập nghiệm S được biểu diễn bằng miền trong của tam giác ABC với:

\(A({2 \over 3};\, - {2 \over 3});\,\,B({7 \over 3};\,{8 \over 3});\,C(4,\,1)\)

Ở đó, A là giao điểm của \((d_1)\) và \((d_2)\).

B là giao điểm của \((d_1)\) và \((d_3)\).

C là giao điểm của \((d_2)\) và \((d_3)\).

LG b

Trong (S) hãy tìm điểm có tọa độ \((x; y)\) làm cho biểu thức \(f(x;y)=y-x\) có giá trị nhỏ nhất, biết rằng \(f(x;y)\) có giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của (S).

Lời giải chi tiết:

Tại \(A({2 \over 3};\, - {2 \over 3}) \Rightarrow F  =  - \frac{2}{3} - \frac{2}{3}=  - {4 \over 3}\)

Tại \(B({7 \over 3};\,{8 \over 3}) \Rightarrow F =\frac{8}{3} - \frac{7}{3}= {1 \over 3}\)

Tại \(C(4; 1)\) thì \(F = 1-4=-3\)

Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 tại \(C(4, 1)\).