Bài 4 trang 40 SGK Hình học 10

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi góc \(α \, (0^0≤ α ≤ 180^0)\) ta đều có \(\sin ^2\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1.\)

Lời giải chi tiết

TH1: \(\alpha  = {0^0}\) thì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\sin ^2}0^0 + {\cos ^2}0^0 = 1\)

TH2: \(\alpha  = {180^0}\) thì \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\sin ^2}180^0 + {\cos ^2}180 ^0= 1\)

TH3: \(0^0 < \alpha  < {90^0}\).

Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đặt \(\widehat B = \alpha \) có:

\(\sin \alpha  = \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}},\) \(\cos \alpha  = \cos B = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) \( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = {\left( {\dfrac{{AC}}{{BC}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{AB}}{{BC}}} \right)^2}\) \( = \dfrac{{A{C^2} + A{B^2}}}{{B{C^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{B{C^2}}} = 1\)

TH4: \({90^0} < \alpha  < {180^0}\).

\( \Rightarrow {0^0} < {180^0} - \alpha  < {90^0} \) \(\Rightarrow {\sin ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right) + {\cos ^2}\left( {{{180}^0} - \alpha } \right)\) \( = 1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

(vì \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha ,\) \(\cos \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) =  - \cos \alpha \))

Vậy ta có đpcm.