Bài 28 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao

Cho tứ giác \(ABCD\). Chứng minh rằng

LG a

Có một điểm \(G\) duy nhất sao cho \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \). Điểm \(G\) như thế gọi là trọng tâm của bốn điểm \(A, B, C, D\). Tuy nhiên, người ta vẫn quen gọi \(G\) là trọng tâm của từ giác \(ABCD\).

Lời giải chi tiết:

+) Chứng minh tồn tại:

Gọi \(O\) là điểm cố định bất kì, ta có

\(\eqalign{
&\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OG} = \overrightarrow 0 \cr 
& \Leftrightarrow 4\overrightarrow {OG} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} \cr 
& \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OG} = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right). \cr} \)

Do O, A, B, C, D xác định nên \(G\) được xác định.

+) Chứng minh duy nhất:

Giả sử tồn tại điểm \(G'\) sao cho \(\overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {G'C}  + \overrightarrow {G'D}  = \overrightarrow 0 \).

Khi đó,

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \\ = \overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {G'C}  + \overrightarrow {G'D} \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA}  - \overrightarrow {G'A} } \right) + \left( {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {G'B} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {GC}  - \overrightarrow {G'C} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  - \overrightarrow {G'D} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {AG'} } \right) + \left( {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {BG'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CG'} } \right) + \left( {\overrightarrow {GD}  + \overrightarrow {DG'} } \right) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow G \equiv G'\end{array}\)

Vậy tồn tại duy nhất 1 điểm G thỏa mãn \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 .\)

LG b

Trọng tâm \(G\) là trung điểm của mỗi đoạn thẳng nối các trung điểm hai cạnh đối của tứ giác, nó cũng là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo của tam giác.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I, J\) lần lượt la trung điểm của \(AB, CD\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} = 2\overrightarrow {GI} \\
\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = 2\overrightarrow {GJ}
\end{array}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow  \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \cr 
&  \Rightarrow 2\overrightarrow {GI} + 2\overrightarrow {GJ} = \overrightarrow 0\cr& \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {GI}  + \overrightarrow {GJ} } \right) = \overrightarrow 0 \cr& \Rightarrow \overrightarrow {GI} + \overrightarrow {GJ} = \overrightarrow 0 \, \cr} \)

\( \Rightarrow \,\,G\) là trung điểm \(IJ\)

Tương tự, ta gọi \(H, K\) lần lượt là trung điểm của \(AC, BD\) ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0  \cr 
&  \Rightarrow 2\overrightarrow {GH} + 2\overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \cr& \Rightarrow \overrightarrow {GH} + \overrightarrow {GK} = \overrightarrow 0 \, \cr} \)

\( \Rightarrow G\) là trung điểm \(HK\)

Tương tự, ta cũng chứng minh được \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh BC và AD.

LG c

Trọng tâm \(G\) nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\), ta có

\(\eqalign{
& 3\overrightarrow {GM} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}\cr& \Leftrightarrow 3\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GA}  = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD} \cr&\Rightarrow \,3\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GA} = \overrightarrow 0 \cr 
&  \Rightarrow \,\overrightarrow {GA} = - 3\overrightarrow {GM}  \cr} \)

Do đó \(G, A, M\) thẳng hàng.

Các trường hợp còn lại làm tương tự.

Vậy trọng tâm \(G\) nằm trên các đoạn thẳng nối một đỉnh của tứ giác và trọng tâm của tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại.