Bài 24 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Cho tam giác \(ABC\) và điểm \(G\). Chứng minh rằng

LG a

Nếu \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \({G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\). Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A}  + \overrightarrow {{G_1}B}  + \overrightarrow {{G_1}C}  = \overrightarrow 0 .\)

Theo giả thiết, \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

\(\eqalign{
& \Rightarrow\overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {G{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}C} = \overrightarrow 0 \cr 
& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} + \left( {\overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) = \overrightarrow {0} \cr& \Rightarrow 3\overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {G{G_1}} = \overrightarrow 0  \cr&\Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr} \)

Cách khác:

Gọi M là trung điểm BC ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GM}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  =  - 2\overrightarrow {GM} \end{array}\)

Do đó A, G, M thẳng hàng; G nằm giữa A, M và \(AG = 2GM \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM\)

Vậy G là trọng tâm tam giác.

LG b

Nếu có điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\) thì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \( {G_1}\) là trọng tâm tam giác \(ABC\).

Từ đó, ta có \(\overrightarrow {{G_1}A}  + \overrightarrow {{G_1}B}  + \overrightarrow {{G_1}C}  = \overrightarrow 0 .\)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OG} = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) \cr 
& = {1 \over 3}\left( {3\overrightarrow {O{G_1}} + \overrightarrow {{G_1}A} + \overrightarrow {{G_1}B} + \overrightarrow {{G_1}C} } \right) \cr& = \frac{1}{3}\left( {3\overrightarrow {O{G_1}}  + \overrightarrow 0 } \right)= \overrightarrow {O{G_1}} \cr& \Rightarrow \,G \equiv {G_1} \cr} \)

Cách khác:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC}  = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {OG}  + \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) = 3\overrightarrow {OG} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \end{array}\)

Vậy G là trọng tâm tam giác (theo câu a).