Bài 21 trang 23 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

 Cho tam giác vuông cân \(OAB\) với \(OA = OB = a\). Hãy dựng các vec tơ sau đây và tính độ dài của chúng

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ;\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ;3\overrightarrow {OA} + 4\overrightarrow {OB} ; \cr 
& {{21} \over 4}\overrightarrow {OA} + 2,5\overrightarrow {OB} ;{{11} \over 4}\overrightarrow {OA} - {3 \over 7}\overrightarrow {OB} . \cr} \)

Lời giải chi tiết

+) Vẽ hình vuông \(OACB\), ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \cr& \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right|  \cr 
& \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {BA} \cr& \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right|  \cr} \)

Theo định lí Pitago trong tam giác OAC có:

\(OC = \sqrt {O{A^2} + A{C^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {a^2}}  = a\sqrt 2 \)

Mà OACB là hình vuông nên BA=OC=\(a\sqrt 2 \)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2  = \left| {\overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OB} } \right|\)

Cách khác:

Vẽ hình vuông \(OACB\), gọi M là trung điểm AB. Khi đó

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM}\)

\(  \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|=2OM\)

Mà OM là trung tuyến trong tam giác vuông OAB nên

\(OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt {O{A^2} + O{B^2}} \)\(= \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {a^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = 2OM \)\(= 2.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).

+) Gọi \(M, N\) là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {ON}  = 4\overrightarrow {OB} \).

Vẽ hình chữ nhật \(MONP\), ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} = \overrightarrow {OP} \cr& \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} } \right| = \left| {\overrightarrow {OP} } \right| \cr 
& = \sqrt {O{M^2} + M{P^2}} \cr 
& = \sqrt {{{\left( {3OA} \right)}^2} + {{\left( {4OB} \right)}^2}}  \cr&= \sqrt {9O{A^2} + 16O{B^2}}\cr& = \sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} = 5a \cr} \)

+) Dựng điểm D, E sao cho \(\overrightarrow {OD}  = \frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA} ,\) \(\overrightarrow {OE}  = 2,5\overrightarrow {OB} \)

Dựng hình chữ nhật ODFE ta có:

\(\frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA}  + 2,5\overrightarrow {OB} \) \( = \overrightarrow {OD}  + \overrightarrow {OE}  = \overrightarrow {OF} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| {\frac{{21}}{4}\overrightarrow {OA}  + 2,5\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OF} } \right|\\ = \sqrt {O{E^2} + E{F^2}}  = \sqrt {O{E^2} + O{D^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {2,5OB} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{21}}{4}OA} \right)}^2}} \\ = \sqrt {{{\left( {2,5a} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{21}}{4}a} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt {541} a}}{4}\end{array}\)

+) Gọi \(I, J\) là điểm thỏa mãn

\(\overrightarrow {OI}  = {{11} \over 4}\overrightarrow {OA} ,\,\overrightarrow {OJ}  =  - {3 \over 7}\overrightarrow {OB} \)

Vẽ hình chữ nhật \(OIKJ\), ta có

\(\eqalign{
& {{11} \over 4}\overrightarrow {OA} - {3 \over 7}\overrightarrow {OB}\cr& = {{11} \over 4}\overrightarrow {OA} + \left( { - {3 \over 7}\overrightarrow {OB} } \right)\cr& = \overrightarrow {OI} + \overrightarrow {OJ} = \overrightarrow {OK} \cr 
& \Rightarrow \,\left| {{{11} \over 4}\overrightarrow {OA} - {3 \over 7}\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OK} } \right| \cr& = \sqrt {O{I^2} + I{K^2}}  = \sqrt {O{I^2} + O{J^2}}  \cr&= \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{4}OA} \right)}^2} + {{\left( {\frac{3}{7}OB} \right)}^2}} \cr&= \sqrt {{{\left( {{{11} \over 4}a} \right)}^2} + {{\left( {  {3 \over 7}a} \right)}^2}} = {{\sqrt {6073} } \over {28}}a \cr} \)