Bài 23 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao
Gọi M và N lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng
Đề bài
Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng \(AB\) và \(CD\). Chứng minh rằng
\(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phân tích vế trái hoặc vế phải (dựa vào quy tắc 3 điểm) làm xuất hiện các vecto ở vế còn lại.
Sử dụng tính chất trung điểm: I là trung điểm AB thì \( \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} =\overrightarrow {0} \) và \( \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} =2 \overrightarrow {MI} \)
Lời giải chi tiết
Vì M, N là trung điểm AB và CD nên:
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MA} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
Theo quy tắc ba điểm, ta có
\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) \cr& = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr
& \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} } \right) + \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} } \right) \cr
& = 2\overrightarrow {MN} + \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \cr} \)
Vậy \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} .\)
Cách khác:
Vì N là trung điểm của CD nên với điểm M ta có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
(vì M là trung điểm AB nên \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \))
Lại có:
\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} \\ = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AD} \\ = \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} } \right)\\ = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\ = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Vậy từ (1) và (2) suy ra \(2\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} \)
Search google: "từ khóa + timdapan.com" Ví dụ: "Bài 23 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao timdapan.com"
