Bài 26 trang 24 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Chứng minh rằng nếu \(G\) và \(G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\) và tam giác \(A'B'C'\) thì

\(3\overrightarrow {G{G'}}  = \overrightarrow {A{A'}}  + \overrightarrow {B{B'}}  + \overrightarrow {C{C'}} .\)

Từ đó hãy suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\) có trọng tâm trùng nhau.

Lời giải chi tiết

G là trọng tâm tam giác ABC nên:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow - \overrightarrow {GA} - \overrightarrow {GB} - \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} = \overrightarrow 0 
\end{array}\)

G' là trọng tâm tam giác A'B'C' nên:

\(\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} \\
= \overrightarrow {AG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'A'} \\
+ \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'B'} \\
+ \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {G'C'} \\
= \left( {\overrightarrow {AG} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right)\\
+ \left( {\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} } \right)\\
+ \left( {\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + + \overrightarrow {G'C'} } \right)\\
= \overrightarrow 0 + 3\overrightarrow {GG'} + \overrightarrow 0 \\
= 3\overrightarrow {GG'} \\
\Rightarrow \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = 3\overrightarrow {GG'} 
\end{array}\)

Để hai tam giác có cùng trọng tâm thì \(G \equiv G' \Leftrightarrow \overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow 0  \)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow 0 \)

Cách khác:

Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'G'} \cr 
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {B'G'} \cr 
& \overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CC'} + \overrightarrow {C'G'} \cr} \)

\(\Rightarrow 3\overrightarrow {GG'} = (\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) \)\(+ (\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} ) \)\(+ (\overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} )\)       (1)

\(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên:

       \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)   (2)

\(G’\) là trọng tâm của tam giác \(A’B’C’\) nên:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} = \overrightarrow 0  \, \, \, (3)\cr} \)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:  \(3\overrightarrow {GG'}  = \overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}. \)