Bài 27 trang 96 SGK Hình học 10 Nâng cao

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \({x^2} + {y^2} = 4\) trong mỗi trường hợp sau

LG a

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\)

Lời giải chi tiết:

Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} = 4\) có tâm O ( 0;0 ) bán kính R = 2.

Tiếp tuyến song song với đường thẳng \(3x - y + 17 = 0;\) có dạng \(\Delta :3x - y + c = 0.\)

Ta có: \(d\left( {O,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = 2 \) \(\Leftrightarrow c =  \pm 2\sqrt {10} .\)

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là:

\(3x - y - 2\sqrt {10}  = 0;\) \(3x - y + 2\sqrt {10}  = 0.\)

LG b

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\)

Lời giải chi tiết:

Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(x + 2y - 5 = 0;\) có dạng:

\(d:\,2x - y + c = 0.\) 

Ta có: \(d\left( {O,d} \right) = R \Leftrightarrow {{|c|} \over {\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 2 \) \(\Leftrightarrow c =  \pm 2\sqrt 5 .\)

Vậy các tiếp tuyến cần tìm là: 

\(2x - y - 2\sqrt 5  = 0\,;\) \(2x - y + 2\sqrt 5  = 0.\)

LG c

Tiếp tuyến đi qua điểm (2, -2)

Lời giải chi tiết:

* Gọi Δ₁ là tiếp tuyến của đường tròn và đi qua (2; -2).

Δ₁ có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {A;B} \right)\);(A² + B² ≠ 0) và qua (2; - 2) nên có phương trình là:

A( x - 2) + B.( y + 2 ) = 0 hay Ax + By – 2A +2B =0

* Do Δ₁ là tiếp tuyến của (C) nên

\(\begin{array}{l}d\left( {I,{\Delta _1}} \right) = R \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - 2A + 2B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\left| { - A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - A + B} \right| = \sqrt {{A^2} + {B^2}} \\ \Leftrightarrow {A^2} - 2AB + {B^2} = {A^2} + {B^2}\\ \Leftrightarrow  - 2AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Nếu A = 0 ⇒ B ≠ 0 ta có tiếp tuyến cần tìm là By + 2B = 0 hay y + 2 = 0

Nếu B = 0 ⇒ A ≠ 0, ta có tiếp tuyến cần tìm là Ax – 2A = 0 hay x – 2 = 0.