Bài 25 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao

LG a

Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm (2; 1)

Lời giải chi tiết:

Vì M(2; 1) nằm trong góc phần tư thứ nhất và đường tròn cần tìm (C) tiếp xúc với hai trục tọa độ nên (C) cũng ở trong góc phần tư thứ nhất.

(C) tiếp xúc với Ox và Oy nên (C) có tâm I (a; a) và bán kính R= a ( a > 0 ).

Do đó (C) có phương trình là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - a} \right)^2} = {a^2}\)

Vì \(M(2;1)\in(C)\) nên 

\(\eqalign{
& {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {1 - a} \right)^2} = {a^2} \cr & \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + {a^2} - 2a + 1 = {a^2}\cr &\Leftrightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0\,\,(C) \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = 1 \hfill \cr 
a = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Với \(a =1\) ta có (C): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1.\)

+) Với \(a=5\) ta có \((C):{\left( {x - 5} \right)^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 25.\)

LG b

Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm (1, 1); (1, 4) và tiếp xúc với trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Phương trình đường thẳng Ox: \(y = 0\).

Giả sử: \(I (a; b)\) là tâm của đường tròn cần tìm.

Ta có: \(R = d\left( {I;{\rm{Ox}}} \right) = |b|\)

Phương trình đường tròn có dạng

\((C):{\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {b^2}\)

Vì \(\left( {1;1} \right) \in (C)\) và \(\left( {1;4} \right) \in (C)\) nên ta có hệ: 

\(\left\{ \matrix{
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(\,1\,) \hfill \cr 
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {b^2}\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\)

Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) vế với vế ta được:

\({\left( {1 - b} \right)^2} - {\left( {4 - b} \right)^2}=0\)

\( \Leftrightarrow 1 - 2b + {b^2} - 16 + 8b - {b^2} = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - 15 + 6b = 0\) \(\Leftrightarrow b = {5 \over 2}.\)

Thay \(b = {5 \over 2}\) vào (1) ta được:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {1 - \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {1 - a} \right)^2} = 4\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
1 - a = 2\\
1 - a = - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = - 1\\
a = 3
\end{array} \right.
\end{array}\)

Với \(a = 3,b = \frac{5}{2}\) ta có pt đường tròn là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4};\)

Với \(a = -1,b = \frac{5}{2}\) ta có pt đường tròn là \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - {5 \over 2}} \right)^2} = {{25} \over 4}.\)