Bài 21 trang 95 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho phương trình

\({x^2} + {y^2} + px + (p - 1)y = 0\)  (1)

Hỏi trong các mệnh đề sau , mệnh đề nào đúng?

a) (1) là phương trình của một đường tròn.

b) (1) là phương trình của một đường tròn đi qua gốc tọa độ.

c) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( p; p-1\right)\)

d) (1) là phương trình của một đường tròn có tâm \(J\left( { - {p \over 2}; - {{p - 1} \over 2}} \right)\) và bán kính \(R = {1 \over 2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \) .

Lời giải chi tiết

Phương trình đường tròn có dạng: \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\) , với điều kiện: \({a^2} + {b^2} > c\) .

Ta có:

\(\eqalign{
& 2a = p;\,\,2b = p - 1;\,\,c = 0 \cr 
& \Rightarrow a = {p \over 2};\,\,b = {{p - 1} \over 2}  \cr} \)

Ta có: \({a^2} + {b^2} -c = \frac{{{p^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {p - 1} \right)}^2}}}{4} \) \(= \frac{{{p^2} + {p^2} - 2p + 1}}{4} \) \(= \frac{1}{4}\left( {2{p^2} - 2p + 1} \right) > 0,\forall p\)

Do đó phương trình đã cho là phương trình đường tròn tâm \(J\left( { - \frac{p}{2}; - \frac{{p - 1}}{2}} \right)\) bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \frac{1}{2}\sqrt {2{p^2} - 2p + 1} \)

Nên a, d đúng, c sai.

Ngoài ra, với x=0, y=0 thỏa mãn pt đường tròn nên b đúng.

Các mệnh đề đúng là: a), b), d).

Mệnh đề sai: c).