Bài 23 trang 143 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Một hình chữ nhật ABCD có AB > AD, diện tích và chu vi của nó theo thứ tự la 2a² và 6a. Cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB, ta được một hình trụ. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ này.

Lời giải chi tiết

Gọi chiều dài \(AB = x\) và chiều rộng \(AD = y\) ta có:

Diện tích hình chữ nhật là \(2{a^2} \Rightarrow xy = 2{a^2}\).

Chu vi hình chữ nhật là \(6a \Rightarrow 2\left( {x + y} \right) = 6a \Leftrightarrow x + y = 3a\).

Khi đó x, y là nghiệm của phương trình \({X^2} - 3aX + 2{a^2} = 0\) (định lí Vi-ét đảo).

Ta có:

\(\Delta  = {\left( {3a} \right)^2} - 4.2{a^2} = {a^2} \\\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{X_1} = \dfrac{{3a + a}}{2} = 2a\\{X_2} = \dfrac{{3a - a}}{2} = a\end{array} \right.\).

Do \(AB > AD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = 2a\\AD = a\end{array} \right.\).

Quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có chiều cao \(h = AB = 2a\), bán kính đáy \(R = AD = a\). Vậy thể tích của khối trụ đó là \(V = \pi {R^2}h = \pi .{a^2}.2a = 2\pi {a^3}\).