Bài 20 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 20. Tìm số thực \(\alpha \), thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1\,\,\left( {a > 0} \right);\)                 b) \({3^{\left| \alpha  \right|}} < 27.\)

Giải

a) \({1 \over 2}\left( {{a^\alpha } + {a^{ - \alpha }}} \right) = 1 \Leftrightarrow {a^\alpha } + {a^{ - \alpha }} - 2 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{a^{{\alpha  \over 2}}} - {a^{ - {\alpha  \over 2}}}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow {a^{{\alpha  \over 2}}} = {a^{ - {\alpha  \over 2}}}\)(*)

- Nếu \(a \ne \,1\) thì (*) \( \Leftrightarrow {\alpha  \over 2} =  - {\alpha  \over 2} \Leftrightarrow \alpha  = 0\)

- Nếu \(a = 1\) thì (*) \( \Leftrightarrow \alpha \) là số thực tùy ý.

b) \({3^{\left| \alpha  \right|}} < 27 \Leftrightarrow {3^{\left| \alpha  \right|}} < {3^3} \Leftrightarrow \left| \alpha  \right| < 3 \Leftrightarrow  - 3 < \alpha  < 3.\)