Bài 18 trang 81 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Bài 18. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữi tỉ:

a) \(\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x } \,\,\,\,\left( {x > 0} \right);\)       

b) \(\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} } \,\,\,\,\left( {a > 0,b > 0} \right);\)

c) \(\root 3 \of {{2 \over 3}\root 3 \of {{2 \over 3}} \sqrt {{2 \over 3}} } ;\) 

d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{{{11} \over {16}}}}\,\,\,\,\left( {a > 0} \right).\)

Giải

a) \(\root 4 \of {{x^2}\root 3 \of x }  = {\left( {{x^2}.{x^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 4}}} = {\left( {{x^{{7 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 4}}} = {x^{{7 \over {12}}}}\)

b) \(\root 5 \of {{b \over a}\root 3 \of {{a \over b}} }  = {\left( {{b \over a}{{\left( {{a \over b}} \right)}^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}} = {\left( {{{\left( {{a \over b}} \right)}^{ - 1}}{{\left( {{a \over b}} \right)}^{{1 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}} = {\left( {{{\left( {{a \over b}} \right)}^{ - {2 \over 3}}}} \right)^{{1 \over 5}}} = {\left( {{a \over b}} \right)^{ - {2 \over {15}}}}\)

c) \(\root 3 \of {{2 \over 3}\root 3 \of {{{2 \over 3}} \sqrt {{2 \over 3}} } } = {\left( {{2 \over 3}{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{{1 \over 3}}}{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{{1 \over 6}}}} \right)^{{1 \over 3}}} = {\left( {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{1 + {1 \over 3} + {1 \over 6}}}} \right)^{{1 \over 3}}} = {\left( {{{\left( {{2 \over 3}} \right)}^{{3 \over 2}}}} \right)^{{1 \over 3}}} = {\left( {{2 \over 3}} \right)^{{1 \over 2}}}\)

d) \(\sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{{{11} \over {16}}}} = \left( {{a^{{1 \over 2}}}.{a^{{1 \over 4}}}.{a^{{1 \over 8}}}.{a^{{1 \over {16}}}}} \right):{a^{{{11} \over {16}}}} = {a^{{{15} \over {16}}}}:{a^{{{11} \over {16}}}} = {a^{{1 \over 4}}}\)