Bài 15 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC' = \sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng


Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AC' = \sqrt 3 \). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB'\) và \(BC'\) bằng

A. \(\frac{1}{3}\).                   

B. \(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).                          

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).                          

D. \(\frac{1}{2}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia

Lời giải chi tiết

Gọi AC giao BD tại O

Ta có \(AC \bot BD,BD \bot AA' \Rightarrow BD \bot \left( {ACC'A'} \right);BD \subset \left( {BDC'} \right) \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDC'} \right)\)

Mà \(\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BDC'} \right) = OC'\)

Trong (ACCA’) kẻ \(AE \bot OC'\)

Do đó \(AE \bot \left( {BDC'} \right)\)

Ta có AB’ // DC’ nên \(d\left( {AB',BC'} \right) = d\left( {AB',\left( {BDC'} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {BDC'} \right)} \right) = AE\)

Xét tam giác ABC vuông tại B có \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {2A{B^2}}  = AB\sqrt 2 \)

Xét tam giác  ACC’ vuông tại C có

 \(\begin{array}{l}A{C^2} + C{{C'}^2} = A{{C'}^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {AB\sqrt 2 } \right)^2} + A{B^2} = 3\\ \Leftrightarrow 3A{B^2} = 3\\ \Leftrightarrow AB = 1\\ \Leftrightarrow AC = \sqrt 2 \end{array}\)

Xét tam giác OCC’ vuông tại C có \(C'O = \sqrt {C{{C'}^2} + O{C^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\)

Dễ dàng chứng minh

\( \Rightarrow \frac{{AE}}{{CC'}} = \frac{{AO}}{{C'O}} \Rightarrow AE = \frac{{AO.CC'}}{{C'O}} = \frac{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}.1}}{{\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án B



Bài giải liên quan

Bài học liên quan

Từ khóa phổ biến