Bài 14 trang 60 SGK Toán 7 tập 2

Đề bài

Đố : Vẽ tam giác \(PQR\) có \(PQ = PR =5\,cm\), \(QR = 6\,cm\). Lấy điểm \(M\) trên đường thẳng \(QR\) sao cho \(PM = 4,5\,cm\). Có mấy điểm \(M\) như vậy ?

Điểm \(M\) có nằm trên cạnh \(QR\) hay không ? Tại sao ?

Lời giải chi tiết

* Vẽ hình:

- Vẽ tam giác \(PQR\) có \(PQ = PR = 5\,cm,\; QR = 6\,cm\).

+ Vẽ đoạn thẳng \(QR = 6\,cm\).

+ Vẽ cung tròn tâm \(Q\) và cung tròn tâm \(R\) bán kính \(5\,cm\). Hai cung tròn này cắt nhau tại \(P\).

+ Nối \(PQ\) và \(PR\) ta được tam giác cần vẽ.

- Vẽ điểm \(M\): Vẽ cung tròn tâm \(P\) bán kính \(4,5\,cm\) cắt đường thẳng \(QR\) (nếu có) tại \(M\).

* Chứng minh 

\(∆PQR\) có \(PQ = PR = 5\,cm\) nên \(∆PQR\) cân tại \(P\). Từ \(P\) kẻ đường thẳng \(PH ⊥ QR\).

Xét hai tam giác vuông tại H: \(ΔPHQ\) và \(ΔPHR\) có

\(PH\) chung

\(PQ = PR ( = 5cm)\)

\(⇒ ΔPHQ = ΔPHR\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\(⇒ HQ = HR\) (Hai cạnh tương ứng)

Mà \(HQ + HR = QR = 6 cm\)

Suy ra \(HQ=HR=QR:2=6:2=3cm\)

+ \(ΔPHR\) vuông tại H có \(PR^2= PH^2+ HR^2\) (định lí Py – ta – go)

\(⇒ PH^2= PR^2– HR^2= 5^2– 3^2= 16\)\( ⇒ PH = 4cm .\)

Đường vuông góc \(PH = 4cm\) là đường ngắn nhất trong các đường kẻ P đến đường thẳng QR.

Vậy chắc chắn có đường xiên \(PM = 4,5cm\) (vì \(PM = 4,5cm > 4cm)\) kẻ từ P đến đường thẳng QR.

Gọi \(M\) là một điểm nằm trên đường thẳng \(QR\).

Ta có: \(MH, QH, RH\) lần lượt là hình chiếu của \(PM, PQ, PR\) trên \(QR\).

Vì \(PM = 4,5\,cm < PQ\) (hoặc \(PR\)) nên \(MH < QH, MH < RH\).

- Tương tự trên \(RH \) có \(MH < RH\) nên \(M\) nằm giữa hai điểm \(R\) và \(H\).

Do vậy có hai điểm \(M\) thỏa mãn điều kiện đề bài và điểm \(M\) này nằm trên cạnh \(QR\).