Bài 6: Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
1. Khái niệm về phép dời hình
a) Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Ký hiệu: F
Nếu F(M) = M’ và F(N) = N’ thì MN = M’N’
b) Nhận xét
- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay đều là phép dời hình.
- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
2. Tính chất của phép dời hình
Phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Khái niệm về hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
4. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
a) Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép \({Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\) và phép ĐBD.
b) Quan sát hình vẽ và cho biết \(\Delta ABC\) biến thành \(\Delta A''B''C''\) qua phép dời hình nào?
.PNG)
Lời giải:
a) Ta có:
.PNG)
\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( O \right) = O\\{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\)
Và ĐBD(O) = O; ĐBD(B) = B; ĐBD(C) = A.
Vậy ảnh của O là O, A là B và B là A.
b) Ta có:
\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\left( {ABC} \right) = A'B'C\)
\({T_{\overrightarrow {AA''} }}\left( {A'B'C} \right) = A''B''C''.\)
Vậy phép dời hình cần tìm là phép biến hình thực hiện liên tiếp hai phép\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\) và \({T_{\overrightarrow {AA''} }}.\)
Ví dụ 2:
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 600 và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OE} .\)
Lời giải:
.PNG)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OBC\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( O \right) = E\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( B \right) = O\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( C \right) = D\end{array} \right. \Rightarrow {T_{\overrightarrow {OE} }}\left( {OBC} \right) = EOD\)
Vậy ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình đã cho là \(\Delta EOD\).
Ví dụ 3:
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng hình thang AEOB và hình thang CFOD bằng nhau.
Lời giải:
.PNG)
Ta có:
Đo(O) = O; ĐO(A) = C; ĐO(E) = F; ĐO(B) = D.
Suy ra: ĐO(AEOB) = CFOD.
Vậy có phép dời hình là phép đối xứng tâm O biến hình thang AEOB thành hình thang CFOD. Vậy hai hình thang này bằng nhau.
1. Khái niệm về phép dời hình
a) Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Ký hiệu: F
Nếu F(M) = M’ và F(N) = N’ thì MN = M’N’
b) Nhận xét
- Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay đều là phép dời hình.
- Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình cũng là một phép dời hình.
2. Tính chất của phép dời hình
Phép dời hình:
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
3. Khái niệm về hai hình bằng nhau
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
4. Bài tập minh họa
Ví dụ 1:
a) Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm ảnh của các điểm A, B, O qua phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép \({Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\) và phép ĐBD.
b) Quan sát hình vẽ và cho biết \(\Delta ABC\) biến thành \(\Delta A''B''C''\) qua phép dời hình nào?
Lời giải:
a) Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( O \right) = O\\{Q_{\left( {O{{,90}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O;{{90}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\)
Và ĐBD(O) = O; ĐBD(B) = B; ĐBD(C) = A.
Vậy ảnh của O là O, A là B và B là A.
b) Ta có:
\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\left( {ABC} \right) = A'B'C\)
\({T_{\overrightarrow {AA''} }}\left( {A'B'C} \right) = A''B''C''.\)
Vậy phép dời hình cần tìm là phép biến hình thực hiện liên tiếp hai phép\({Q_{\left( {C{{,90}^0}} \right)}}\) và \({T_{\overrightarrow {AA''} }}.\)
Ví dụ 2:
Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, góc quay 600 và phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow {OE} .\)
Lời giải:
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( A \right) = B\\{Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( B \right) = C\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {Q_{\left( {O{{,60}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OBC\)
\(\left\{ \begin{array}{l}{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( O \right) = E\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( B \right) = O\\{T_{\overrightarrow {OE} }}\left( C \right) = D\end{array} \right. \Rightarrow {T_{\overrightarrow {OE} }}\left( {OBC} \right) = EOD\)
Vậy ảnh của \(\Delta OAB\)qua phép dời hình đã cho là \(\Delta EOD\).
Ví dụ 3:
Cho hình chữ nhật ABCD tâm O. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng hình thang AEOB và hình thang CFOD bằng nhau.
Lời giải:
Ta có:
Đo(O) = O; ĐO(A) = C; ĐO(E) = F; ĐO(B) = D.
Suy ra: ĐO(AEOB) = CFOD.
Vậy có phép dời hình là phép đối xứng tâm O biến hình thang AEOB thành hình thang CFOD. Vậy hai hình thang này bằng nhau.