Bài 4: Phép đối xứng tâm

a) Định nghĩa

Ký hiệu: Đ_I

- I gọi là tâm đối xứng.

- Nếu Đ_I(H) = H’ thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua tâm I.

- Ta có: Đ_I(M) = M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM} \)

b) Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.

Đ_I(ABC) = A’B’C’.

c) Chú ý

Ta có: Đ_I(M) = M’ ⇔ Đ_I(M’) = M.

Chứng minh: Đ_I(M) = M’

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IM}  =  - \overrightarrow {IM'}  \)

\(\Leftrightarrow \) Đ_I(M’) = M.

a) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi độ M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O ta có:

Đ_O(M) = M’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right.\)

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

Trong hệ tọa độ Oxy, cho:

\(E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\)

Đ_E(M) = M’(x₀’;y₀’) có biểu thức tọa độ:

           \(\left\{ \begin{array}{l}x{'_0} = 2a - {x_0}\\y{'_0} = 2a - {y_0}\end{array} \right..\)

Tính chất 1:

Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N’ thì:

      \(\left\{ \begin{array}{l}M'N' = MN\\\overrightarrow {M'N'}  =  - \overrightarrow {MN} \end{array} \right.\)

Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Tính chất 2:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó.

\( \Rightarrow \) Ta gọi H là hình có tâm đối xứng.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho A(-1;3), \(d:x - 2y + 3 = 0.\) Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải:

Ta có: A’ = Đ_O(A) suy ra A’(1;-3).

Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm O.

Cách 1:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) Đ_O(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y =  - y'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M( - x', - y')\)

\(M \in d \Rightarrow ( - x') - 2( - y') + 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Cách 2:

d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm suy ra d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra phương trình d’ có dạng: \(x - 2y + m = 0.\)

Ta có: \(M(3;0) \in d\)

Đ_O(M) = M’(x’,y’) với: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - {x_M} =  - 3\\y' =  - {y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(M' \in d' \Rightarrow 3 - 2.0 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 3.\) 

Vậy phương trình của d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Ví dụ 2:

Cho đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1.\) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1) bán kính R = 1.

Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’) ta có: R’ = R = 1.

I’ = Đ_O(I) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I}' =  - {x_I} = 2\\{y_I}' =  - {y_I} =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1.\)

Ví dụ 3:

Cho \(I\left( {2; - 3} \right)\), \(d:3x + 2y - 1 = 0.\) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) Đ_I(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - x\\y' =  - 6 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - x'\\y =  - 6 - y'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M(4 - x', - 6 - y')\)

\(M \in d \Rightarrow 3(4 - x') + 2( - 6 - y') - 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - 3x' - 2y' - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x' + 2y' + 1 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(3x + 2y + 1 = 0.\)

a) Định nghĩa

Ký hiệu: Đ_I

- I gọi là tâm đối xứng.

- Nếu Đ_I(H) = H’ thì ta gọi H đối xứng với H’ qua tâm I hay H và H’ đối xứng nhau qua tâm I.

- Ta có: Đ_I(M) = M’\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM} \)

b) Biểu diễn ảnh qua phép đối xứng tâm

Ví dụ: Cho tam giác ABC và điểm I. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của ABC qua phép đối xứng tâm I.

Đ_I(ABC) = A’B’C’.

c) Chú ý

Ta có: Đ_I(M) = M’ ⇔ Đ_I(M’) = M.

Chứng minh: Đ_I(M) = M’

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IM'}  =  - \overrightarrow {IM}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IM}  =  - \overrightarrow {IM'}  \)

\(\Leftrightarrow \) Đ_I(M’) = M.

a) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua gốc tọa độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho M(x;y), gọi độ M’(x’;y’) là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O ta có:

Đ_O(M) = M’ thì: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right.\)

b) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm bất kì

Trong hệ tọa độ Oxy, cho:

\(E(a;b),\,M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\)

Đ_E(M) = M’(x₀’;y₀’) có biểu thức tọa độ:

           \(\left\{ \begin{array}{l}x{'_0} = 2a - {x_0}\\y{'_0} = 2a - {y_0}\end{array} \right..\)

Tính chất 1:

Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N’ thì:

      \(\left\{ \begin{array}{l}M'N' = MN\\\overrightarrow {M'N'}  =  - \overrightarrow {MN} \end{array} \right.\)

Nếu ba điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự thì qua phép đối xứng tâm biến thành M’, N’, P’ tương ứng cũng thẳng hàng theo thứ tự đó.

Tính chất 2:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua I biến H thành chính nó.

\( \Rightarrow \) Ta gọi H là hình có tâm đối xứng.

5. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho A(-1;3), \(d:x - 2y + 3 = 0.\) Tìm ảnh của điểm A và d qua phép đối xứng tâm O.

Lời giải:

Ta có: A’ = Đ_O(A) suy ra A’(1;-3).

Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm O.

Cách 1:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) Đ_O(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - x\\y' =  - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - x'\\y =  - y'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M( - x', - y')\)

\(M \in d \Rightarrow ( - x') - 2( - y') + 3 = 0 \)

\(\Leftrightarrow x' - 2y' - 3 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Cách 2:

d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm suy ra d’ song song hoặc trùng với d.

Suy ra phương trình d’ có dạng: \(x - 2y + m = 0.\)

Ta có: \(M(3;0) \in d\)

Đ_O(M) = M’(x’,y’) với: \(\left\{ \begin{array}{l}x' =  - {x_M} =  - 3\\y' =  - {y_M} = 0\end{array} \right.\)

\(M' \in d' \Rightarrow 3 - 2.0 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 3.\) 

Vậy phương trình của d’ là: \(x - 2y - 3 = 0.\)

Ví dụ 2:

Cho đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 1.\) Viết phương trình (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm O(0;0).

Lời giải:

Đường tròn (C) có tâm I(-2;1) bán kính R = 1.

Gọi I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính (C’) ta có: R’ = R = 1.

I’ = Đ_O(I) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I}' =  - {x_I} = 2\\{y_I}' =  - {y_I} =  - 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đường tròn (C’) là: \({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 1.\)

Ví dụ 3:

Cho \(I\left( {2; - 3} \right)\), \(d:3x + 2y - 1 = 0.\) Viết phương trình d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Lời giải:

Lấy \(M\left( {x,y} \right) \in d \Rightarrow \) Đ_I(M) = M’ có tọa độ: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 4 - x\\y' =  - 6 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4 - x'\\y =  - 6 - y'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M(4 - x', - 6 - y')\)

\(M \in d \Rightarrow 3(4 - x') + 2( - 6 - y') - 1 = 0 \)

\(\Leftrightarrow  - 3x' - 2y' - 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow 3x' + 2y' + 1 = 0.\)

Vậy phương trình d’ là: \(3x + 2y + 1 = 0.\)