Bài 5: Phép quay

a) Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác \(\alpha .\) Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng giác (OM,OM’) bằng \(\alpha \) được họi là phép quay tâm O góc \(\alpha .\)

Ký hiệu: \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\)

- Điểm O gọi là tâm quay, \(\alpha \) gọi là góc quay.

Nhận xét:

+ Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác, ngược lại là chiều âm.

+ Với số nguyên k:

Phép quay \({Q_{\left( {O,k2\pi } \right)}}\) là phép đồng nhất.

Phép quay \({Q_{\left( {O,\pi  + k2\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm.

b) Biểu diễn ảnh của phép quay

Cho tam giác ABC và điểm O. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).

a) Tính chất 1

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Tính chất 2

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

c) Nhận xét

Phép quay góc quay \(0 < \alpha  < \pi \) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho:

+ \(\left( {d,d'} \right) = \alpha \) nếu \(0 < \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

+ \(\left( {d,d'} \right) = \pi  - \alpha \) nếu \(\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi \)

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của:

a) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 360⁰.

b) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 120⁰.

c) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -180⁰.

d) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -300⁰.

Lời giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OAB\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( A \right) = E\\{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( B \right) = F\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OEF.\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = E\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = ODE.\)

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( A \right) = F\\{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OFA.\)

Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;0) và đường thẳng d: \(x + 2y - 2 = 0,\) đường tròn \(\left( C \right):\) \({x^2} + {y^2} - 4x = 0.\) Xét phép quay Q tâm O góc quay \({90^0}.\)

a) Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q.

b) Tìm ảnh của d qua phép quay Q.

c) Tìm ảnh của (C) qua phép quay Q.

Lời giải:

a) Ta có: Vì \(M(2;0) \in Ox\) nên: \({Q_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}(M) = M':\left\{ \begin{array}{l}M' \in Oy\\OM = OM'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M'(0;2).\)

b) Ta có \(M\left( {2;0} \right) \in d,\) ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’(0;2).

Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d.

Đường thẳng d có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right),\) suy ra d’ có VTPT là \(\overrightarrow {n'}  = \left( {2; - 1} \right)\)

Vậy phương trình của d’ là:

\(2(x - 0) - 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0.\)

c) Đường tròn (C) có tâm M(2;0) và bán kính R = 2.

Ảnh của M qua Q là M’(0;2).

Gọi (C) là ảnh của (C) qua Q, (C’) có tâm M’ và bán kính R = 2.

Vậy phương trình của (C’) là:

\({(x - 0)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\)

Ví dụ 3:

Tìm ảnh của điểm A(3;4) qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}.\)

Lời giải:

Với phép quay tâm O góc 90 độ điểm A thành A’(x;y) có tọa độ thỏa mãn:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OA = OA'}\\
{(OA;OA') = {{90}^0}}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^2} + {4^2} = {x^2} + {y^2}}\\
{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OA'}  = 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} = 25}\\
{3x + 4y = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 4}\\
{y = 3}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4}\\
{y =  - 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Do \(\alpha  = {90^0} > 0\) phép quay theo chiều dương suy ra: \(A'( - 4;3).\)

 

a) Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác \(\alpha .\) Phép biến hình biến O thành chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành M’ sao cho OM = OM’ và góc lượng giác (OM,OM’) bằng \(\alpha \) được họi là phép quay tâm O góc \(\alpha .\)

Ký hiệu: \({Q_{\left( {O,\alpha } \right)}}\)

- Điểm O gọi là tâm quay, \(\alpha \) gọi là góc quay.

Nhận xét:

+ Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác, ngược lại là chiều âm.

+ Với số nguyên k:

Phép quay \({Q_{\left( {O,k2\pi } \right)}}\) là phép đồng nhất.

Phép quay \({Q_{\left( {O,\pi  + k2\pi } \right)}}\) là phép đối xứng tâm.

b) Biểu diễn ảnh của phép quay

Cho tam giác ABC và điểm O. Hãy biểu diễn ảnh A’B’C’ của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay \(\frac{\pi }{2}\).

a) Tính chất 1

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.

b) Tính chất 2

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

c) Nhận xét

Phép quay góc quay \(0 < \alpha  < \pi \) biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ sao cho:

+ \(\left( {d,d'} \right) = \alpha \) nếu \(0 < \alpha  \le \frac{\pi }{2}\)

+ \(\left( {d,d'} \right) = \pi  - \alpha \) nếu \(\frac{\pi }{2} \le \alpha  < \pi \)

3. Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Hãy xác định ảnh của:

a) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 360⁰.

b) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay 120⁰.

c) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -180⁰.

d) \(\Delta OAB\) qua phép quay tâm O, góc quay -300⁰.

Lời giải:

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( A \right) = A\\{Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( B \right) = B\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O{{,360}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OAB\)

b) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( A \right) = E\\{Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( B \right) = F\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O{{,120}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OEF.\)

c) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( A \right) = D\\{Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( B \right) = E\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{180}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = ODE.\)

d) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( A \right) = F\\{Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( B \right) = A\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow {Q_{\left( {O, - {{300}^0}} \right)}}\left( {OAB} \right) = OFA.\)

Ví dụ 2:

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(2;0) và đường thẳng d: \(x + 2y - 2 = 0,\) đường tròn \(\left( C \right):\) \({x^2} + {y^2} - 4x = 0.\) Xét phép quay Q tâm O góc quay \({90^0}.\)

a) Tìm ảnh của điểm M qua phép quay Q.

b) Tìm ảnh của d qua phép quay Q.

c) Tìm ảnh của (C) qua phép quay Q.

Lời giải:

a) Ta có: Vì \(M(2;0) \in Ox\) nên: \({Q_{\left( {0;{{90}^0}} \right)}}(M) = M':\left\{ \begin{array}{l}M' \in Oy\\OM = OM'\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow M'(0;2).\)

b) Ta có \(M\left( {2;0} \right) \in d,\) ảnh của M qua phép quay Q theo câu a là M’(0;2).

Gọi d’ là ảnh của d qua Q ta có d’ là đường thẳng qua M’ và vuông góc với d.

Đường thẳng d có VTPT là \(\overrightarrow n  = \left( {1;2} \right),\) suy ra d’ có VTPT là \(\overrightarrow {n'}  = \left( {2; - 1} \right)\)

Vậy phương trình của d’ là:

\(2(x - 0) - 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 2 = 0.\)

c) Đường tròn (C) có tâm M(2;0) và bán kính R = 2.

Ảnh của M qua Q là M’(0;2).

Gọi (C) là ảnh của (C) qua Q, (C’) có tâm M’ và bán kính R = 2.

Vậy phương trình của (C’) là:

\({(x - 0)^2} + {(y - 2)^2} = 4.\)

Ví dụ 3:

Tìm ảnh của điểm A(3;4) qua phép quay tâm O góc quay \({90^0}.\)

Lời giải:

Với phép quay tâm O góc 90 độ điểm A thành A’(x;y) có tọa độ thỏa mãn:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{OA = OA'}\\
{(OA;OA') = {{90}^0}}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^2} + {4^2} = {x^2} + {y^2}}\\
{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OA'}  = 0}
\end{array}} \right.
\end{array}\\
{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} + {y^2} = 25}\\
{3x + 4y = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x =  - 4}\\
{y = 3}
\end{array}} \right.}\\
{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4}\\
{y =  - 3}
\end{array}} \right.}
\end{array}} \right.}
\end{array}\)

Do \(\alpha  = {90^0} > 0\) phép quay theo chiều dương suy ra: \(A'( - 4;3).\)