Bài 2: Phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng, cho vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) . Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) là phép biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v .\)

Ký hiệu: \({T_{\overrightarrow v }}(M) = M'\) hoặc \({T_{\overrightarrow v }}:M \to M'\).\(\)\(\)\(\)

a) Tính chất 1

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì MN = M’N’.

b) Tính chất 2

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .

Giả sử cho \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) và một điểm M(x;y).

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)  biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là:

                \(\left\{ \begin{array}{l}x' = a + x\\y' = y + b\end{array} \right.\)

a) Dạng 1

Cho điểm \(A\left( {x;y} \right)\) tìm ảnh \(A'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(A\) qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

Phương pháp giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A' = {T_{\vec v}}(A) \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \vec v\\
 \Leftrightarrow (x' - x;y' - y) = ({x_0};{y_0})\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' - x = {x_0}}\\
{y' - y = {y_0}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = x + {x_0}}\\
{y' = y + {y_0}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\).

b) Dạng 2

Cho đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) tìm ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Gọi \(d'\) là ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Cách 1:

Với \(M = \left( {x;y} \right) \in d\) ta có:

\({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'\).

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép \({T_{\overrightarrow v }}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + {x_0}\\y' = y + {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - {x_0}\\y = y' - {y_0}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(d':a\left( {x' - {x_0}} \right) + b\left( {y' - {y_0}} \right) + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow ax' + by' - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Vậy phương trình của d’ là :

\(ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Cách 2:

Ta có \(d\) và \(d'\) song song hoặc trùng nhau, vậy d’ có một vec tơ pháp tuyến là:

         \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\).

Ta tìm 1 điểm thuộc \(d'\).

Ta có \(M\left( {0; - \frac{c}{b}} \right) \in d\), ảnh \(M'\left( {x';y'} \right) \in d'\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 + {x_0} = {x_0}\\y' =  - \frac{c}{b} + {y_0}\end{array} \right.\)

Phương trình của d’ là :

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y + \frac{c}{b} - {y_0}} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh A’, B’ của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec u  =  (3;1)}}.\) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} {\rm{ }},{\rm{ }}\overrightarrow {{\rm{A'B'}}} {\rm{ }}.\)

Lời giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A' = {T_{\vec u}}(A) = (5;4),B' = {T_{\vec u}}(B) = (4;2)\\
 \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|{\mkern 1mu}  = \sqrt 5 ,\)

\(A'B' = \left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|{\mkern 1mu}  = \sqrt 5 .
\end{array}\)

Ví dụ 2:

Đường thẳng d cắt Ox tại A(-4;0), cắt Oy tại B(0;5). Viết phương trình tham số của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {5;1} \right).\)

Lời giải:

Đường thẳng d có một VTCP là:

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {AB}  = (4;5)\)

Vì \({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}'}  = \overrightarrow {{u_d}}  = (4;5)\)

Gọi \({T_{\overrightarrow v }}(A) = A' \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + 5 = 1\\{y_{A'}} = {y_A} + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'(1;1)\)

Vì \(A \in d \Rightarrow A' \in d' \)

\(\Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\)

Ví dụ 3:

Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: \(x - 2y + 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = ( - 1;2).\)

Lời giải:

Cách 1:

Gọi \(M(x;y) \in d,{T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y') \in d'\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = x - 1}\\
{y' = y + 2}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = x' + 1}\\
{y = y' - 2}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow M(x' + 1;y' - 2) \in d
\end{array}\\
{ \Rightarrow x' - 2y' + 8 = 0.}
\end{array}\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y + 8 = 0.\)

Cách 2:

\({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow d'//d \)

\(\Rightarrow d':x - 2y + c = 0\)

Chọn \(M( - 3;0) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y') \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 3 - 1 =  - 4\\y' = 0 + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 4;2).\)

Mà \(M' \in d' \Rightarrow  - 4 - 2.2 + c = 0\)

\(\Leftrightarrow c = 8 \Rightarrow d':x - 2y + 8 = 0.\)

Ví dụ 4:

Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4.\)

Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;2} \right).\)

Lời giải:

Cách 1:

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R = 2.

Ta có: \({T_{\overrightarrow v }}(C) = C' \Rightarrow {R_{C'}} = R = 2\)

\({T_{\overrightarrow v }}(I) = I' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} + ( - 2) = 0\\{y_{I'}} = {y_I} + 2 = 3\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow I'(0;3)\)

Vậy phương trình (C’) là:

\({(x - 0)^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Cách 2:

Gọi: \({T_{\overrightarrow v }}\left( {M(x,y) \in (C)} \right) = M'(x';y') \in (C') \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M(x' + 2;y' - 2)\)

\(M \in \left( C \right) \Rightarrow x{'^2} + {(y' - 3)^2} = 4 \)

\(\Rightarrow (C'):{x^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Ví dụ 5:

Cho \(\,d:\,2x - 3y + 3 = 0;\)

\({d_1}:2x - 3y - 5 = 0.\)

Tìm tọa độ \(\overrightarrow {\rm{w}} \)có phương vuông góc với d để \({d_1} = {T_{\overrightarrow {\rm{W}} }}(d).\)

Lời giải:

Vì \(\overrightarrow {\rm{w}} \) có phương vuông góc với d nên: \(\overrightarrow {\rm{w}}  = k.\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2k; - 3k} \right)\)

Chọn \(M(0;1) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow {\rm{w}} }}(M) = M' \in {d_1} \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M} + {x_{\overrightarrow {\rm{w}} }} = 2k\\{y_{M'}} = {y_M} + {y_{\overrightarrow {\rm{w}} }} =  - 3k + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M'(2k; - 3k + 1).\)

\(M' \in {d_1} \)

\(\Rightarrow 2.(2k) - 3.( - 3k + 1) - 5 = 0 \)

\(\Leftrightarrow k = \frac{8}{{13}} \Rightarrow \overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {\frac{{16}}{{13}}; - \frac{{24}}{{13}}} \right).\)

Trong mặt phẳng, cho vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) . Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) là phép biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'}  = \overrightarrow v .\)

Ký hiệu: \({T_{\overrightarrow v }}(M) = M'\) hoặc \({T_{\overrightarrow v }}:M \to M'\).\(\)\(\)\(\)

a) Tính chất 1

Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’ thì MN = M’N’.

b) Tính chất 2

Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.

Hệ quả: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác thành một tam giác bằng nó, biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính , biến một góc thành một góc bằng nó .

Giả sử cho \(\overrightarrow v  = \left( {a;b} \right)\) và một điểm M(x;y).

Phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \)  biến điểm M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là:

                \(\left\{ \begin{array}{l}x' = a + x\\y' = y + b\end{array} \right.\)

a) Dạng 1

Cho điểm \(A\left( {x;y} \right)\) tìm ảnh \(A'\left( {x';y'} \right)\) là ảnh của \(A\) qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\).

Phương pháp giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A' = {T_{\vec v}}(A) \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \vec v\\
 \Leftrightarrow (x' - x;y' - y) = ({x_0};{y_0})\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' - x = {x_0}}\\
{y' - y = {y_0}}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = x + {x_0}}\\
{y' = y + {y_0}}
\end{array}} \right.
\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {x + {x_0};y + {y_0}} \right)\).

b) Dạng 2

Cho đường thẳng \(d:ax + by + c = 0\) tìm ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Phương pháp giải:

Gọi \(d'\) là ảnh của d qua phép \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v  = \left( {{x_0};{y_0}} \right)\)

Cách 1:

Với \(M = \left( {x;y} \right) \in d\) ta có:

\({T_{\overrightarrow v }}\left( M \right) = M'\left( {x';y'} \right) \in d'\).

Áp dụng biểu thức tọa độ của phép \({T_{\overrightarrow v }}\): \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + {x_0}\\y' = y + {y_0}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' - {x_0}\\y = y' - {y_0}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(d':a\left( {x' - {x_0}} \right) + b\left( {y' - {y_0}} \right) + c = 0 \)

\(\Leftrightarrow ax' + by' - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Vậy phương trình của d’ là :

\(ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Cách 2:

Ta có \(d\) và \(d'\) song song hoặc trùng nhau, vậy d’ có một vec tơ pháp tuyến là:

         \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\).

Ta tìm 1 điểm thuộc \(d'\).

Ta có \(M\left( {0; - \frac{c}{b}} \right) \in d\), ảnh \(M'\left( {x';y'} \right) \in d'\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = 0 + {x_0} = {x_0}\\y' =  - \frac{c}{b} + {y_0}\end{array} \right.\)

Phương trình của d’ là :

\(a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y + \frac{c}{b} - {y_0}} \right) = 0\)

\(\Leftrightarrow ax + by - a{x_0} - b{y_0} + c = 0\)

Ví dụ 1:

Trong mặt phẳng Oxy, tìm ảnh A’, B’ của điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tịnh tiến theo vectơ \({\rm{\vec u  =  (3;1)}}.\) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {{\rm{AB}}} {\rm{ }},{\rm{ }}\overrightarrow {{\rm{A'B'}}} {\rm{ }}.\)

Lời giải:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A' = {T_{\vec u}}(A) = (5;4),B' = {T_{\vec u}}(B) = (4;2)\\
 \Rightarrow AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|{\mkern 1mu}  = \sqrt 5 ,\)

\(A'B' = \left| {\overrightarrow {A'B'} } \right|{\mkern 1mu}  = \sqrt 5 .
\end{array}\)

Ví dụ 2:

Đường thẳng d cắt Ox tại A(-4;0), cắt Oy tại B(0;5). Viết phương trình tham số của d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( {5;1} \right).\)

Lời giải:

Đường thẳng d có một VTCP là:

\(\overrightarrow {{u_d}}  = \overrightarrow {AB}  = (4;5)\)

Vì \({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}'}  = \overrightarrow {{u_d}}  = (4;5)\)

Gọi \({T_{\overrightarrow v }}(A) = A' \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = {x_A} + 5 = 1\\{y_{A'}} = {y_A} + 1 = 1\end{array} \right. \Rightarrow A'(1;1)\)

Vì \(A \in d \Rightarrow A' \in d' \)

\(\Rightarrow d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\)

Ví dụ 3:

Tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d: \(x - 2y + 3 = 0\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = ( - 1;2).\)

Lời giải:

Cách 1:

Gọi \(M(x;y) \in d,{T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y') \in d'\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x' = x - 1}\\
{y' = y + 2}
\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = x' + 1}\\
{y = y' - 2}
\end{array}} \right.\\
 \Rightarrow M(x' + 1;y' - 2) \in d
\end{array}\\
{ \Rightarrow x' - 2y' + 8 = 0.}
\end{array}\)

Vậy phương trình d’ là: \(x - 2y + 8 = 0.\)

Cách 2:

\({T_{\overrightarrow v }}(d) = d' \Rightarrow d'//d \)

\(\Rightarrow d':x - 2y + c = 0\)

Chọn \(M( - 3;0) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow v }}(M) = M'(x';y') \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' =  - 3 - 1 =  - 4\\y' = 0 + 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow M'( - 4;2).\)

Mà \(M' \in d' \Rightarrow  - 4 - 2.2 + c = 0\)

\(\Leftrightarrow c = 8 \Rightarrow d':x - 2y + 8 = 0.\)

Ví dụ 4:

Cho đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y - 1)^2} = 4.\)

Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v  = \left( { - 2;2} \right).\)

Lời giải:

Cách 1:

Đường tròn (C) có tâm I(2;1) bán kính R = 2.

Ta có: \({T_{\overrightarrow v }}(C) = C' \Rightarrow {R_{C'}} = R = 2\)

\({T_{\overrightarrow v }}(I) = I' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{I'}} = {x_I} + ( - 2) = 0\\{y_{I'}} = {y_I} + 2 = 3\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow I'(0;3)\)

Vậy phương trình (C’) là:

\({(x - 0)^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Cách 2:

Gọi: \({T_{\overrightarrow v }}\left( {M(x,y) \in (C)} \right) = M'(x';y') \in (C') \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x' = x - 1\\y' = y + 2\end{array} \right. \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x' + 2\\y = y' - 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M(x' + 2;y' - 2)\)

\(M \in \left( C \right) \Rightarrow x{'^2} + {(y' - 3)^2} = 4 \)

\(\Rightarrow (C'):{x^2} + {(y - 3)^2} = 4.\)

Ví dụ 5:

Cho \(\,d:\,2x - 3y + 3 = 0;\)

\({d_1}:2x - 3y - 5 = 0.\)

Tìm tọa độ \(\overrightarrow {\rm{w}} \)có phương vuông góc với d để \({d_1} = {T_{\overrightarrow {\rm{W}} }}(d).\)

Lời giải:

Vì \(\overrightarrow {\rm{w}} \) có phương vuông góc với d nên: \(\overrightarrow {\rm{w}}  = k.\overrightarrow {{n_d}}  = \left( {2k; - 3k} \right)\)

Chọn \(M(0;1) \in d \Rightarrow {T_{\overrightarrow {\rm{w}} }}(M) = M' \in {d_1} \)

\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M} + {x_{\overrightarrow {\rm{w}} }} = 2k\\{y_{M'}} = {y_M} + {y_{\overrightarrow {\rm{w}} }} =  - 3k + 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M'(2k; - 3k + 1).\)

\(M' \in {d_1} \)

\(\Rightarrow 2.(2k) - 3.( - 3k + 1) - 5 = 0 \)

\(\Leftrightarrow k = \frac{8}{{13}} \Rightarrow \overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {\frac{{16}}{{13}}; - \frac{{24}}{{13}}} \right).\)