Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 trường THCS Quỳnh Giang, Nghệ An

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 trường THCS Quỳnh Giang, Nghệ An năm 2015 - 2016 là đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 6. Đây là tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn học sinh lớp 6. Đề thi có đáp án đi kèm, các bạn có thể kiểm tra lại kết quả sau khi làm thử bài. Mời các bạn tham khảo.

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 năm 2014 - 2015 trường THCS Nông Trang, Phú Thọ

Đề thi học sinh giỏi môn Ngữ văn lớp 6 năm học 2014 - 2015 huyện Hoằng Hóa, Thanh Hóa

PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU
TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC: 2015 - 2016
Môn: Toán - Lớp: 6
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2 điểm)

a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)

b) Tính tổng:

$A=\ \frac{2}{1.4}+\frac{2}{4.7}+\frac{2}{7.10}+...+\frac{2}{97.100}$

Câu 2 (2 điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰. Chứng tỏ rằng:

a) M chia hết cho 6.

b) M không phải là số chính phương.

Câu 3 (2 điểm)

a) Chứng tỏ rằng: (n ∈ N) là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số:

$B\ =\ \frac{2n+5}{n+3}$

có giá trị là số nguyên.

Câu 4 (1 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.

Câu 5 (2 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho ∠xOy = 30^o; ∠xOz = 70^o; ∠xOt = 110^o

a) Tính ∠yOz và ∠zOt

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?

c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.

Câu 6 (1 điểm) Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<1$

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6

Câu 1: (Mỗi câu đúng, cho 1 điểm)

a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)
= 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99
= 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7
= 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94)
= 16 +27.100 - 7. 100
= 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016

b, $A=\ \frac{2}{1.4}+\frac{2}{4.7}+\frac{2}{7.10}+...+\frac{2}{97.100}$

Ta có:

$\frac{1}{1.4}=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right).\ Suy\ ra:\ \frac{2}{1.4}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}\right)$

Tương tự:

$\frac{2}{4.7}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right);\frac{2}{7.10}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{10}\right);...;\frac{2}{97.100}=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)$

$Suy\ ra:\ A\ =\ \frac{2}{3}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)$

$=\frac{2}{3}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\right)=\frac{2}{3}\frac{99}{100}=\frac{33}{50}$

Câu 2:

a) Ta có: M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰

= 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰ = (5 + 5²) + (5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶) +... + (5⁷⁹ + 5⁸⁰)

= (5 + 5²) + 5².(5 + 5²) + 5⁴(5 + 5²) + ... + 5⁷⁸(5 + 5²)

= 30 + 30.5² + 30.5⁴ + ... + 30.5⁷⁸ = 30 (1+ 5² + 5⁴ + ... + 5⁷⁸) ⋮ 30

b) Ta thấy : M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰ chia hết cho số nguyên tố 5.

Mặt khác, do: 5²+ 5³ + ... + 580 chia hết cho 5² (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 5²)

M = 5 + 5² + 5³ + ... + 5⁸⁰ không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 5²)

M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 5²

M không phải là số chính phương.

(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p²).

Câu 3:

a). Chứng tỏ rằng: là phân số tối giản.

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d ∈ N

=> n + 3 ⋮ d và 2n + 5 ⋮ d

=> (n + 3) - (2n + 5) ⋮d => 2(n + 3) - (2n + 5) ⋮ d <=> 1 ⋮d => d = 1 ∈ N

=> ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1

=> ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 => (n ∈ N) là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số $B=\frac{2n+5}{n+3}$ có giá trị là số nguyên. Ta có:

$\frac{2n+5}{n+3}=\frac{2\left(n+3\right)-1}{n+3}=\ 2-\frac{1}{n+3}$

Để B có giá trị nguyên thì $\frac{1}{n+3}$ nguyên. Mà $\frac{1}{n+3}$ nguyên ⇔ n+3 là ước của 1.

Do Ư(1) = {±1}; Ta tìm được n = {-4;-2}

Câu 4:

Gọi số phải tìm là x.

Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6.

=> x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6

Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n .

Do đó x = 60.n – 2 ; (n = 1; 2; 3.....)

Mặt khác x ⋮ 11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3.... Ta thấy n = 7 thì x = 418 ⋮ 11.

Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.

Câu 5:

Câu 6: Chứng minh rằng:

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<1$

Ta có:

$\frac{1}{2^2}<\frac{1}{2.1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

...

$\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

Suy ra:

$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=1-\frac{1}{100}<1$