Giải mục 4 trang 47, 48 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Hoạt động 5

Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc vào giao tuyến hai mặt phẳng tại cùng một điểm.

Lời giải chi tiết:

a) Theo tài liệu nói trên, góc xOy trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°

b) Vì các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyến a của mặt ghế và lưng ghế nên góc giữa lưng ghế và mặt ghế là góc giữa Ox và Oy mà góc xOy có số đo từ 100° đến 105°

Do đó nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo 75⁰ đến 80⁰

Luyện tập 4

Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = {120^0},SA = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}.\) Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện \(S, BC, A].

Phương pháp giải:

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện \(P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện \(P, a, Q].

Lời giải chi tiết:

a) Xét tam giác ABC có AB = AC => tam giác ABC cân tại A mà M là trung điểm BC

=> \(AM \bot BC\) (1)

\(\begin{array}{l}SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right);SM \subset \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) ta có \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \(S, BC, A].

b) Xét tam giác ABC cân tại A có

\(\widehat {BAC} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {30^0}\)

\(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AM}}{{AC}} \Leftrightarrow \tan {30^0} = \frac{{AM}}{a} \Leftrightarrow AM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\)

\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}:\frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {SMA} = \arctan \frac{1}{2}\)

Vận dụng 1

Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng d; khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Phương pháp giải:

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện \(P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện \(P, a, Q].

Lời giải chi tiết:

Gọi đường kính của khung là AB có tâm I và đường kính của cánh là MN có tâm I’

=> II’ = d = 40cm

Vì đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau nên mặt phẳng chứa cánh song song với mặt phẳng chứa khung

=> Hai mặt phẳng đó cắt nhau tại 1 đường thẳng d’ qua O song song với AB và MN.

Vì O là điểm chính giữa nên \(OI \bot AB,OI' \bot MN\)

=> \(d' \bot OI,d' \bot OI'\)

Do đó góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa là góc \(\widehat {IOI'}\)

Xét tam giác IOI’ có

\(OI = OI' = \frac{{80}}{2} = 40 \Rightarrow OI = OI' = II'\)

\( \Rightarrow \) Tam giác IOI’ đều \( \Rightarrow \) \(\widehat {IOI'} = {60^0}\)

Vậy số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm là 60⁰