Giải mục 3 trang 8, 9, 10 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 3

Trong mỗi trường hợp dưới đây, cho f là một phép dời hình.

a) Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C). Gọi A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua f (Hình 8a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối của ba điểm A’, B’, C’?

b) Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂, lấy hai đoạn thẳng bằng nhau AB và DC lần lượt trên d₁ và d₂. Gọi \({d_1}',{d_2}'\) lần lượt là ảnh của d₁, d₂ và A’, B’, C’, D’ lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua f (Hình 8b). Tứ giác A’B’C’D’ là hình gì? Nêu nhận xét về vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}',{d_2}'\).

c) Cho A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua f (Hình 8c).

So sánh  và \(\Delta ABC\). So sánh số đo hai góc \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {B'A'C'}\).

Phương pháp giải:

Quan sát hình 8 để trả lời

Lời giải chi tiết:

Phép dời hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

a) Ta có A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép dời hình f.

Suy ra A’B’ = AB; B’C’ = BC và A’C’ = AC.

Theo đề, ta có ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự (B nằm giữa A và C).

Suy ra AB + BC = AC.

Khi đó A’B’ + B’C’ = A’C’.

Vậy ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng theo thứ tự (B’ nằm giữa A’ và C’).

b) Ta có AB = DC (giả thiết) và AB // DC (do d₁ // d₂).

Suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành.

Khi đó AD = BC.

Ta có A’, B’, C’, D’ lần lượt là ảnh của A, B, C, D qua phép dời hình f.

Suy ra A’B’ = AB; D’C’ = DC.

Mà AB = DC (giả thiết), do đó A’B’ = D’C’ (1)

Chứng minh tương tự, ta được A’D’ = B’C’ (2)

Từ (1), (2), suy ra tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành.

Khi đó A’B’ // D’C’ hay \({d_1}'{\rm{//}}{d_2}'\).

Vậy tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành và \({d_1}'{\rm{//}}{d_2}'\).

c) Ta có tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép dời hình f.

Suy ra A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép dời hình f.

Vì vậy A’B’ = AB; B’C’ = BC và A’C’ = AC.

Do đó ∆A’B’C’ = ∆ABC (c.c.c).

Từ đó suy ra \(\widehat {B'A'C'} = \widehat {BAC}\) (cặp cạnh tương ứng).

Vậy \(\Delta A'B'C'{\rm{ }} = {\rm{ }}\Delta ABC\)  và \(\widehat {B'A'C'} = \widehat {BAC}\).

Thực hành 3

Gọi A’B’C’D’ là ảnh của hình chữ nhật ABCD qua phép biến hình được diễn tả trong Vận dụng. Hãy cho biết A’B’C’D’ là hình gì. Giải thích.

Phương pháp giải:

Phép dời hình bảo toàn:

- Tính thẳng hàng của 3 điểm và thứ tự của ba điểm thẳng hàng.

- Tính song song của hai đường thẳng.

- Độ lớn của một góc.

Lời giải chi tiết:

Gọi f là phép biến hình trong Vận dụng.

Trong Vận dụng, ta đã chứng minh được f là một phép dời hình.

Ta có ABCD là hình chữ nhật.

Suy ra \(\;\widehat {DAB} = 90^\circ ;\,\,\widehat {ABC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {BCD} = 90^\circ \)

Do phép dời hình f bảo toàn độ lớn của góc nên ta có \(\widehat {{\rm{D'A'B'}}} = 90^\circ ;\widehat {{\rm{A'B'C'}}} = 90^\circ ;\widehat {{\rm{B'C'D'}}} = 90^\circ \)

Vậy A’B’C’D’ cũng là hình chữ nhật.