Giải mục 3 trang 22, 23 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Khám phá 3

Tìm phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm biến Hình 7 thành chính nó.

Phương pháp giải:

Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng trục qua d biến H thành chính nó.

Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó.

Lời giải chi tiết:

⦁ Giả sử ta chọn đường thẳng d trên Hình 7 như hình vẽ.

Lấy điểm A nằm trên Hình 7 nhưng không nằm trên đường thẳng d.

Ta đặt \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( A \right).\)

Khi đó A’ nằm trên Hình 7 ban đầu.

Lấy điểm B nằm trên Hình 7 và nằm trên đường thẳng d.

Ta thấy \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( B \right).\)

Tương tự như vậy, ta chọn các điểm bất kì trên Hình 7, ta đều xác định được ảnh của các điểm đó qua \({Đ_d}\)  trên Hình 7.

Vậy phép đối xứng trục d biến Hình 7 thành chính nó.

Giả sử ta chọn đường thẳng d’ trên Hình 7 như hình vẽ.

Chứng minh tương tự như trên, ta cũng xác định được phép đối xứng trục d’ biến Hình 7 thành chính nó.

⦁ Giả sử ta chọn điểm O trên Hình 7 như hình vẽ.

Lấy điểm F trùng O. Khi đó qua O, điểm đối xứng với F là chính nó.

Lấy điểm E bất kì trên Hình 7 sao cho \(E{\rm{ }} \ne {\rm{ }}O.\)

Khi đó ta luôn xác định được một điểm E’ trên Hình 7 sao cho O là trung điểm của đoạn EE’.

Tương tự như vậy, với mỗi điểm M bất kì khác O trên Hình 7, ta đều xác định được một điểm M’ trên Hình 7 sao cho O là trung điểm của đoạn MM’.

Vậy phép đối xứng tâm O biến Hình 7 thành chính nó.

Thực hành 3

a) Trong Hình 9, hình nào có tâm đối xứng? Tìm tâm đối xứng (nếu có).

b) Nêu tên một hình có vô số tâm đối xứng.

Phương pháp giải:

Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó.

Lời giải chi tiết:

a) ⦁ Hình 9a:

Ta đặt hình bình hành ở Hình 9a có các đỉnh là A, B, C, D (hình vẽ).

Hình bình hành ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo.

Suy ra O là trung điểm của AC, do đó \(C{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_O}\left( A \right),A{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_O}\left( C \right).\)

Chứng minh tương tự, ta được \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_O}\left( D \right),D{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_O}\left( B \right).\)

Do đó ảnh của hình bình hành ABCD qua \({Đ_O}\)  là chính nó.

Vậy O là tâm đối xứng của Hình 9a.

⦁ Hình 9b:

Giả sử I là một điểm trên Hình 9b (hình vẽ).

Lấy điểm A bất kì trên Hình 9b sao cho \(A{\rm{ }} \ne {\rm{ }}I.\)

Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ trên Hình 9b sao cho \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( A \right).\)

Lấy điểm B trùng I. Khi đó \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_I}\left( B \right).\)

Tương tự như vậy, ta chọn các điểm bất kì nằm trên Hình 9b, ta đều xác định được ảnh của các điểm đó qua Đ_I trên Hình 9b.

Vậy I là tâm đối xứng của Hình 9b.

⦁ Hình 9c:

Chứng minh tương tự Hình 9b, ta được G là tâm đối xứng của Hình 9c.

⦁ Hình 9d không có tâm đối xứng.

b) Hình có vô số tâm đối xứng là:

– Đường thẳng: do đường thẳng không có điểm đầu và điểm cuối nên mỗi điểm bất kì nằm trên đường thẳng đều là tâm đối xứng của đường thẳng đó;

– Hình gồm hai đường thẳng song song: tâm đối xứng của hình gồm hai đường thẳng song song luôn di động trên một đường thẳng cố định, đường thẳng đó là trục đối xứng của hai đường thẳng đã cho.

Cụ thể, giả sử O là tâm đối xứng của hai đường thẳng song song a và b. Khi đó O di động trên đường thẳng c là trục đối xứng của hai đường thẳng a và b.

Vận dụng 3

Trong Hình 10, hình nào có tâm đối xứng? (Mỗi chữ cái là một hình).

Phương pháp giải:

Điểm O được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm O biến hình H thành chính nó.

Lời giải chi tiết:

⦁ Giả sử O là một điểm trên hình chữ S (hình vẽ).

Lấy điểm A bất kì trên hình chữ S sao cho \(A{\rm{ }} \ne {\rm{ }}O.\)

Khi đó ta luôn xác định được một điểm A’ trên hình chữ S sao cho \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_O}\left( A \right).\)

Lấy điểm B trùng O. Khi đó

Tương tự như vậy, ta chọn các điểm khác bất kì nằm trên hình chữ S, ta đều xác định được ảnh của các điểm đó qua Đ_O trên hình chữ S.

Vì vậy O là tâm đối xứng của hình chữ S.

⦁ Giả sử O là một điểm trên hình chữ H (hình vẽ).

Chứng minh tương tự như trên, ta được O là tâm đối xứng của hình chữ H.

⦁ Các hình còn lại không có tâm đối xứng.

Vậy hình chữ S và hình chữ H có tâm đối xứng là điểm O như hình vẽ.