Giải mục 2 trang 8,9 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

KP3

Trả lời câu hỏi Khám phá 3 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Giải thích tại sao \(\int {0dx = C} \) và \(\int {1dx = x + C} \)

b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\) \(\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)\). Từ đó, tìm \(\int {{x^\alpha }dx} \).

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\), ta cần chỉ ra rằng \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\), với lần lượt \(F\left( x \right) = C\) và \(F\left( x \right) = x + C\).

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Do \(C' = 0\) nên hàm số \(F\left( x \right) = C\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 0\). Như vậy \(\int {0dx = C} \).

Do \(x' = 1\) nên hàm số \(F\left( x \right) = x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 1\). Như vậy \(\int {1dx = x + C} \).

b) Ta có \(F'\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}} \right)' = \frac{{\left( {\alpha  + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha  + 1}} = {x^\alpha }\). Vậy ta có \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}}\) \(\left( {\alpha  \ne  - 1} \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {x^\alpha }\). Do đó \(\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\).

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm:

a) \(\int {{x^4}dx} \).

b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} \).

c) \(\int {\sqrt x dx} \)\(\left( {x > 0} \right)\).

Phương pháp giải:

Biến đổi các biểu thức về dạng \(\int {{x^\alpha }dx} \) và sử dụng công thức \(\int {{x^\alpha }dx}  = \frac{{{x^{\alpha  + 1}}}}{{\alpha  + 1}} + C\).

Lời giải chi tiết:

a) \(\int {{x^4}dx}  = \frac{{{x^{4 + 1}}}}{{4 + 1}} + C = \frac{{{x^5}}}{5} + C\).

b) \(\int {\frac{1}{{{x^3}}}dx}  = \int {{x^{ - 3}}dx = \frac{{{x^{ - 3 + 1}}}}{{ - 3 + 1}} + C = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C =  - \frac{1}{{2{x^2}}} + C} \).

c) \(\int {\sqrt x dx}  = \int {{x^{\frac{1}{2}}}dx}  = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + C = \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}}  + C\).

KP4

Trả lời câu hỏi Khám phá 4 trang 8 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).

a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).

b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).

Phương pháp giải:

a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).

Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).

Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).

Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F'\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)' = \frac{1}{x}\).

Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F'\left( x \right) = \frac{1}{x}\).

b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).

Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)

KP5

Trả lời câu hỏi Khám phá 5 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y =  - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y =  - \cot x\).

b) Từ đó, tìm \(\int {\cos xdx} \), \(\int {\sin x} dx\), \(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} \), \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \)

Phương pháp giải:

a) Sử dụng các công thức đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = \sin x\), \(y =  - \cos x\), \(y = \tan x\), \(y =  - \cot x\).

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\left( {\sin x} \right)' = \cos x\)

\(\left( { - \cos x} \right)' =  - \left( { - \sin x} \right) = \sin x\)

\(\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

\(\left( { - \cot x} \right)' =  - \frac{{ - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

b) Từ câu a, ta có:

\(\int {\cos xdx}  = \sin x + C\)

\(\int {\sin xdx}  =  - \cos x + C\)

\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \)

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  - \cot x + C} \)

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \cos x\) thoả mãn \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\int {\cos xdx}  = \sin x + C\), sau đó sử dụng điều kiện \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) để tìm hằng số \(C\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\cos xdx}  = \sin x + C\)

Suy ra \(F\left( 0 \right) = \sin 0 + C = C\) và \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + C = 1 + C\)

Do \(F\left( 0 \right) + F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) nên \(C + \left( {1 + C} \right) = 0 \Rightarrow C =  - \frac{1}{2}\).

Vậy \(F\left( x \right) = \sin x - \frac{1}{2}\).

KP6

Trả lời câu hỏi Khám phá 6 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

a) Tìm đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\) với \(a > 0\), \(a \ne 1\).

b) Từ đó, tìm \(\int {{e^x}dx} \) và \(\int {{a^x}dx} \) (\(a > 0\), \(a \ne 1\)).

Phương pháp giải:

a) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của các hàm số \(y = {e^x}\), \(y = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}}\)(\(a > 0\), \(a \ne 1\)).

b) Từ câu a, rút ra kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(\left( {{e^x}} \right)' = {e^x}\) và \(\left( {\frac{{{a^x}}}{{\ln a}}} \right)' = \frac{{{a^x}\ln a}}{{\ln a}} = {a^x}\).

b)  Từ câu a, ta có:

\(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\)

\(\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)

TH4

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm

a) \(\int {{3^x}dx} \)

b) \(\int {{e^{2x}}dx} \)

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức \(\int {{e^x}dx}  = {e^x} + C\) và \(\int {{a^x}dx}  = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\)

Lời giải chi tiết:

a) \(\int {{3^x}dx}  = \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C\)

b) \(\int {{e^{2x}}dx}  = \int {{{\left( {{e^2}} \right)}^x}dx}  = \frac{{{{\left( {{e^2}} \right)}^x}}}{{\ln \left( {{e^2}} \right)}} + C = \frac{{{e^{2x}}}}{2} + C\).