Giải bài tập 3 trang 11 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).


Đề bài

Tìm nguyên hàm \(F\left( x \right)\) của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) thoả mãn \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} =  - \cot x + C} \) để tìm \(F\left( x \right)\), sau đó dùng điều kiện \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) để xác định hằng số \(C\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx}  =  - \cot x + C\),

Do \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\) nên \( - \cot \left( {\frac{\pi }{2}} \right) + C = 1 \Rightarrow 0 + C = 1 \Rightarrow C = 1\).

Vậy \(F\left( x \right) =  - \cot x + 1\) là hàm số cần tìm.