Giải mục 2 trang 66 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 3

Ở trên ta đã biết \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{{3{n^2} + 1}}{{{n^2}}} = 3\).

a) Tìm các giới hạn \(\lim 3\) và \(\lim \frac{1}{{{n^2}}}\).

b) Từ đó, nêu nhận xét về \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\) và \(\lim 3 + \lim \frac{1}{{{n^2}}}\).

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính giới hạn cơ bản và giới hạn của hằng số:

• \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\), với \(k\) nguyên dương bất kì.

• \(\lim {u_n} = \lim c = c\), với \(c\) là hằng số.

Lời giải chi tiết:

a) \(\lim 3 = 3\) vì 3 là hằng số.

Áp dụng giới hạn cơ bản với \(k = 2\), ta có: \(\lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\).

b) \(\lim \left( {3 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim 3 + \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 3\)

Thực hành 3

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 3n}}{{{n^2} + 1}}\)           

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 3} }}{n}\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng quy tắc tính giới hạn của thương để tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

a) \(\lim \frac{{2{n^2} + 3n}}{{{n^2} + 1}} = \lim \frac{{{n^2}\left( {2 + \frac{{3n}}{{{n^2}}}} \right)}}{{{n^2}\left( {1 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)}} = \lim \frac{{2 + \frac{3}{n}}}{{1 + \frac{1}{{{n^2}}}}} = 2\)

b) \(\lim \frac{{\sqrt {4{n^2} + 3} }}{n} = \lim \frac{{\sqrt {{n^2}\left( {4 + \frac{3}{{{n^2}}}} \right)} }}{n} = \lim \frac{{n\sqrt {4 + \frac{3}{{{n^2}}}} }}{n} = \lim \sqrt {4 + \frac{3}{{{n^2}}}}  = 2\)