Giải mục 2 trang 21, 22 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Hoạt động 2

Xét phương trình \(2{\log _2}x =  - 3.\)

a) Từ phương trình trên, hãy tính \({\log _2}x.\)

b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa lôgarit \(\alpha  = {\log _a}M \Leftrightarrow {a^\alpha } = M.\)

Lời giải chi tiết:

a) \(2{\log _2}x =  - 3 \Leftrightarrow {\log _2}x =  - \frac{3}{2}\)

b) \({\log _2}x =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow x = {2^{\frac{{ - 3}}{2}}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - 3}} = \sqrt {\frac{1}{8}}  = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\)

Luyện tập 2

Giải các phương trình sau:

a) \(4 - \log \left( {3 - x} \right) = 3;\)                                         

b) \({\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1.\)

Phương pháp giải:

- Tìm ĐK sau đó giải phương trình.

- Sử dụng định nghĩa lôgarit \(\alpha  = {\log _a}M \Leftrightarrow {a^\alpha } = M\) và công thức\({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\)

Lời giải chi tiết:

a) (ĐK: \(3 - x > 0 \Leftrightarrow x < 3\))

 \(\begin{array}{l}4 - \log \left( {3 - x} \right) = 3\\ \Leftrightarrow \log \left( {3 - x} \right) = 1\\ \Leftrightarrow 3 - x = 10\\ \Leftrightarrow x =  - 7\left( {TM} \right)\end{array}\)                    

Vậy phương trình có nghiệm \(x =  - 7\)

b) (ĐK: \(x + 2 > 0;x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\))

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {x + 2} \right) + {\log _2}\left( {x - 1} \right) = 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)} \right] = 1\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\left( {TM} \right)\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {17} }}{2}\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy phương trình có tập nghiệm \(x = \frac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\).